Konvergenzbeweis einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:59 Do 18.01.2007 | | Autor: | prrulez |
| Aufgabe | Konvergenzbeweis von:
[mm] a_{1}=-3, a_{n+1}=\bruch{1}{2}a_{n}+\wurzel{3+a_{n}} [/mm] |
Also:
Als Grenzwert kommt bei mir 6 und -2 raus, daraus resultiert direkt die erste Frage. Reicht es, nur die Konvergenz für den größeren Wert, also die 6, zu beweisen?
Ich hab jedenfalls dann die 6 für den Beschränktheitsbeweis über vollst. Induktion genommen:
Ind. Anfang:
-3 [mm] \le [/mm] 6
Ind. Voraussetzung:
Es sei für alle n [mm] \in \IN a_{n} \le [/mm] 6
Ind. Schluss:
[mm] a_{n+1} \le [/mm] 6
Auflösen mit pq Formel, dann bekomme ich 2 Werte raus:
[mm] a_{n} \ge [/mm] 22 und [mm] a_{n} \ge [/mm] 6
Das würde ja dafür sprechen, dass keine Konvergenz gegeben ist. Ich habs aber ma durchgerechnet, da wird der Grenzwert 6 bestätigt.
Hab ich irgendwo ein Denkfehler?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo prulez!
> Als Grenzwert kommt bei mir 6 und -2 raus, daraus
> resultiert direkt die erste Frage.
> Reicht es, nur die Konvergenz für den größeren Wert, also die 6, zu beweisen?
Wie kommst Du denn auf den Wert $-2_$ ? Bei zwei vermeintlichen "Grenzwerten" wäre ja die Definition der Konvergenz bereits widerlegt (und man würde von Häufungspunkten reden).
> Ich hab jedenfalls dann die 6 für den
> Beschränktheitsbeweis über vollst. Induktion genommen:
> Ind. Anfang:
> -3 [mm]\le[/mm] 6
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ind. Voraussetzung:
> Es sei für alle n [mm]\in \IN a_{n} \le[/mm] 6
>
> Ind. Schluss:
> [mm]a_{n+1} \le[/mm] 6
> Auflösen mit pq Formel, dann bekomme ich 2 Werte raus:
> [mm]a_{n} \ge[/mm] 22 und [mm]a_{n} \ge[/mm] 6
Wie hast Du denn dieses Ergebnis erhalten? Schließlich widerspräche dies auch der stark der Induktionsvorausstzung mit [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ 6$ .
Für den Nachweis der Konvergenz müsstest Du zudem auch noch die Monotonie [mm] $a_{n+1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] zeigen.
Gruß
Loddar
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