Konvergenzbeweis per Def.? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi ihrs,
ok, ich soll die Konvergenz der Folge [mm] a_{n}= \bruch{5n+7}{2n+1} [/mm] n [mm] \in [/mm] N
mit Hilfe der Grenzwertdefinition beweisen. Dabei soll ich ein n( [mm] \varepsilon) [/mm] für [mm] \varepsilon= [/mm] 1/1000 bestimmen.
Man sieht zwar (denke ich jedenfalls) schnell, dass die Folge gegen 5/2 strebt, aber das kann ich ja im Beweis nicht vorraussetzen.
Nun nutze ich die Grenzwertdef.:
[mm] \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] n( [mm] \varepsilon), [/mm] so dass [mm] |\bruch{5n+7}{2n+1} [/mm] - A| < [mm] \varepsilon [/mm] (1/1000) , wobei A der Grenzwert der Folge ist.
Jedoch kenne ich den Grenzwert ja "offiziell" nicht. Aber wie soll ich es sonst aus der Definition beweisen?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo steelscout,
es ist zwar richtig, dass du eigentlich den Grenzwert $A$ nicht kennst. Aber du darfst natürlich trotzdem mit [mm] $A=\frac{5}{2}$ [/mm] arbeiten. Wie du auf [mm] $A=\frac{5}{2}$ [/mm] gekommen bist, danach wird dich keiner fragen. Und falls doch, sagst du: "Göttliche Eingebung!" 
Jedenfalls:
Wenn du nun zeigst:
[mm] $\forall \varepsilon>0$: $\exists n=n(\varepsilon)$: $\forall [/mm] n [mm] \ge n(\varepsilon)$:[/mm] [m]\begin{vmatrix} \frac{5n+7}{2n+1}-\frac{5}{2} \end{vmatrix} <\varepsilon[/m], so hast du bewiesen, dass [mm] $A=\frac{5}{2}$ [/mm] auch tatsächlich der Grenzwert von deiner Folge [m](a_n)_{n \in \IN}[/m] mit [mm] $a_n:=\frac{5n+7}{2n+1}$ [/mm] ist.
So ein Beweis fängt meist mit dem Satz:
"Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben..."
an und endet mit
"Da [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig war, folgt die Behauptung!"
So, da du nicht danach gefragt hast, gehe ich mal davon aus, du weißt, wie du ein [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] findest (dann kennst du natürlich auch ein passendes $n [mm] \in \IN$ [/mm] für dein [m]\varepsilon=\frac{1}{1000}[/m]).
Wenn nicht so kannst du ja nochmal nachfragen!  (Ich bin allerdings am Wochenende vermutlich nicht oder nur wenig im Forum, also darf das gerne auch jemand anderes übernehmen. Ansonsten müßtest du halt bis Montag oder so warten, und mich dann am besten per PN nochmal daran erinnern, sonst vergesse ich das! )
Viele Grüße,
Marcel
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Also wenn ich den richtigen Grenzwert "annehmen" kann,
dann kann ich das $ [mm] \begin{vmatrix} \frac{5n+7}{2n+1}-\frac{5}{2} \end{vmatrix} <\varepsilon [/mm] $ doch nach n umstellen und hätte dann ein n für das die Aussage stimmt bzw. 1/1000 für [mm] \varepsilon [/mm] einsetzen und das zugehörige n finden, oder nicht?
Wie man sieht bin ich noch unsicher, worauf die Nachweise über die Grenzwertdefinition letztendlich hinauslaufen sollen.. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:11 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo steelscout!
> Also wenn ich den richtigen Grenzwert "annehmen" kann,
> dann kann ich das [mm]\begin{vmatrix} \frac{5n+7}{2n+1}-\frac{5}{2} \end{vmatrix} <\varepsilon[/mm]
> doch nach n umstellen und hätte dann ein n für das die
> Aussage stimmt bzw. 1/1000 für [mm]\varepsilon[/mm] einsetzen und
> das zugehörige n finden, oder nicht?
Ja, das ist richtig. Zur Kontrolle: Du erhältst als Zwischenergebnis (beachte bitte, dass der Term zwischen den Betragszeichen immer positiv ist):
[mm] $\frac{9}{4n+2} [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Wenn ich das [mm]\frac{9}{4n+2} < \varepsilon[/mm] habe, kann ich ja daraus ein [mm] n(\varepsilon) [/mm] kriegen.
Allerdings wurden in den Übungen die Terme meist noch weiter nach unten abgeschätzt z.b [mm]\frac{9}{4n+2}[/mm] < [mm] \bruch{9}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
und das [mm] n(\varepsilon) [/mm] daraus errechnet.
Gehe ich recht in der Annahme, dass das daraus errechnete [mm] n(\varepsilon) [/mm] auch richtig ist, da für n [mm] \ge n(\varepsilon) [/mm] die Ausgangsbedingung ja auch erfüllt ist?
Ist nur eine Frage prinzipieller Natur, da das zweite [mm] n(\varepsilon) [/mm] ja nicht das erste innerhalb der Grenze ist, nicht wahr?
thx nochma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mo 01.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steelscout!
> Wenn ich das [mm]\frac{9}{4n+2} < \varepsilon[/mm] habe, kann ich ja
> daraus ein [mm]n(\varepsilon)[/mm] kriegen.
Klar, im Prinzip findest du unendlich viele, aber nehmen wir mal an, du nimmst einfach das kleinste $n [mm] \in \IN$, [/mm] so dass [mm] $(\star)$[/mm] [mm]\frac{9}{4n+2} < \varepsilon[/mm] für dieses $n$ erfüllt ist, und das nennst du dann [m]n(\varepsilon)[/m]. Dann gilt (einfache Überlegung bzw. man erkennt es auch anhand äquivalenter Umformungen) [mm] $(\star)$ [/mm] ja für alle [mm] $(\star_1)$ [/mm] $n [mm] \ge n(\varepsilon)$.
[/mm]
> Allerdings wurden in den Übungen die Terme meist noch
> weiter nach unten abgeschätzt z.b [mm]\frac{9}{4n+2}[/mm] <
> [mm]\bruch{9}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon
[/mm]
> und das [mm]n(\varepsilon)[/mm] daraus errechnet.
>
> Gehe ich recht in der Annahme, dass das daraus errechnete
> [mm]n(\varepsilon)[/mm] auch richtig ist, da für n [mm]\ge n(\varepsilon)[/mm]
> die Ausgangsbedingung ja auch erfüllt ist?
Ja, wenn ich dich richtig verstehe, dann ist das genauso. Wenn du nämlich (jetzt auf dein Beispiel bezogen) ein $n'$ findest mit [mm] $\frac{9}{n'}<\varepsilon$, [/mm] so gilt wegen [mm] $\frac{9}{4n+2}<\frac{9}{n}$ [/mm] insbesondere:
[mm] $\frac{9}{4n'+2}<\varepsilon$. [/mm] Ausserdem ist dann $n' [mm] \ge n(\varepsilon)$, [/mm] also gilt [mm] $(\star)$ [/mm] auch für alle $n [mm] \ge [/mm] n'$.
Durch diese zusätzliche Abschätzung wird man also ein [mm] $n'(\varepsilon)$ [/mm] finden mit [mm] $n(\varepsilon)\le n'(\varepsilon)$, [/mm] wobei ich hier einfach davon ausgehe, dass du [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] minimal wählst.
Hm, viel Gerede um nichts: Also, wie gesagt, wenn ich dich richtig verstehe, dann hast du Recht!
> Ist nur eine Frage prinzipieller Natur, da das zweite
> [mm]n(\varepsilon)[/mm] ja nicht das erste innerhalb der Grenze ist,
> nicht wahr?
Ja, das zweite ist dann größer als unbedingt notwendig. Ich denke, dieser Satz ist der verständlichste in meiner Antwort, oder?
> thx nochma
>
Viele Grüße,
Marcel
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