Konvergenzbeweis von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 29.12.2006 | | Autor: | prrulez |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{2^{n}\*n!} [/mm] |
Diese Aufgabe ist laut Lösung divergent, ich komm mit dem Quotientenkriterium aber auf ne konvergenz?
[mm] \bruch{n^{n+1}}{2^{n+1}\*(n+1)!} [/mm] / [mm] \bruch{n^{n}}{2^{n}\*n!}
[/mm]
Das hab ich dann aufgelöst und umgeformt nach:
[mm] \bruch{n}{2\*(n+1)}
[/mm]
Im Nenner das n ausgeklammert und gekürzt, konvergiert diese Reihe dann doch nach [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] was nach dem QK abs. Konvergenz bedeuten würde.
Ist die Lösung falsch oder hab ich irgendwo einen Denkfehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten morgen
Also deine Umformung stimmt nicht ganz:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1}*(n+1)!}*\bruch{2^n*n!}{n^n}
[/mm]
Dann wird das vereinfacht:
[mm] \bruch{(n+1)^{n}*(n+1)}{2^n*2*(n+1)*n!}*\bruch{2^n*n!}{n^n}
[/mm]
Am Ende bleibt dann stehen [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{n+1}{n})^n
[/mm]
Davon den Grenzwert mit n gegen unendlich bestimmen. Dieser Grenzwert ist eine ganz bestimmte zahl.
Daraus schließt sich dann Divergenz nach Quotientenkriterium
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Fr 29.12.2006 | | Autor: | prrulez |
Aah, ich hasse Flüchtigkeitsfehler, danke euch für die Korrektur, Aufgabe verstanden ;)
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Euler-Zahl
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