Konvergenzintervall < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
| Aufgabe | 1. Konvergenzintervall: Man bestimme (falls moeglich) r so, dass die angegebenen Potenzreihen für |x| < r konvergieren und fuer |x| > r nicht.
1. [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} (2^k+1)x^k
[/mm]
2. [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(1+k)^8}{2^k}x^k
[/mm]
3. [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} (2^k+1+k)^8 x^k [/mm] |
Ich weis leider nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Mir fehlt vollkommen der Ansatz. Eine Art wegweiser wäre toll. Damit ich weis was ich machen soll. Vielen Dank.
MfG Yumi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> 1. Konvergenzintervall: Man bestimme (falls moeglich) r so,
> dass die angegebenen Potenzreihen für |x| < r konvergieren
> und fuer |x| > r nicht.
Sagt dir Formel von (Cauchy-)Hadamard was? Oder was hattet ihr in der VL sonst so zu Konvergenzradius?
> 1. [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} (2^k+1)x^k[/mm]
> 2. [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(1+k)^8}{2^k}x^k[/mm]
>
> 3. [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} (2^k+1+k)^8 x^k[/mm]
Bei 1. und 3. kannst du den Koeffizient von [mm] $x^k$ [/mm] durch [mm] $2^k$ [/mm] nach unten und durch $2 [mm] \cdot 2^k$ [/mm] nach oben abschaetzen.
Bei 2. kannst du erstmal schauen, was mit $(1 + [mm] k)^8$ [/mm] in der Formel von Cauchy-Hadamard passiert; danach ists einfach.
(Ich beziehe mich hier auf die Formel, die vom Wurzel-Kriterium herkommt.)
Hilft dir das?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe leider sone starken Probleme in Mathe das ich erstmal gucken muss was die Couchy Folge ist und das Wurzelkriterium. Ich hinke wirklich stark hinterher :( . Ich gucke erstmal wieviel ich zusammen kriege dann antworte ich nocheinmal. Vielen Dank erstmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
So,
ich habe jetzt nachgeschlagen im Skript. Ich habe folgendes zur Cauchy Folge gefunden:
|am - an| < [mm] \varepsilon [/mm] n, m > n( [mm] \varepsilon)
[/mm]
Wurzelkriterium:
[mm] \summe_{n}^{} [/mm] an konvergiert, wenn eine Zahl q mit 0 < q < 1 [mm] \wurzel[n]{an} \le [/mm] q für fast alle n gilt.
Aber was fange ich damit an?? *verzweifel*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> ich habe jetzt nachgeschlagen im Skript. Ich habe folgendes
> zur Cauchy Folge gefunden:
>
> |am - an| < [mm]\varepsilon[/mm] n, m > n( [mm]\varepsilon)[/mm]
Cauchy-Folgen brauchst du nicht. Der Satz den ich meinte heisst einfach Cauchy-Hadamard-Formel oder einfach nur Formel von Hadamard und besagt folgendes: Ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ [/mm] eine Potenzreihe, so ist der Konvergenzradius gegeben durch $r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$. [/mm] Dies beweist man mit dem Wurzelkriterium.
Wenn du nun eine Potenzreihe [mm] $\sum a_n x^n$ [/mm] hast und eine Abschaetzung [mm] $b_n \le |a_n| \le c_n$ [/mm] mit [mm] $\sqrt[n]{b_n}, \sqrt[n]{c_n} \to [/mm] k$ fuer eine Konstante $k$, dann gilt auch [mm] $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] = c$ und somit ist [mm] $\frac{1}{c}$ [/mm] der Konvergenzradius.
> Wurzelkriterium:
>
> [mm]\summe_{n}^{}[/mm] an konvergiert, wenn eine Zahl q mit 0 < q <
> 1 [mm]\wurzel[n]{an} \le[/mm] q für fast alle n gilt.
Das ist uebrigens dazu aequivalent, dass [mm] $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} [/mm] < 1$ ist.
Man kann uebrigens auch zeigen, dass wenn der [mm] $\limsup [/mm] > 1$ ist, dass die Reihe dann divergiert.
> Aber was fange ich damit an?? *verzweifel*
Wenn du damit die Formel von Cauchy-Hadamard beweisen willst: Setze $z := [mm] \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}$. [/mm] Ist $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|x| < [mm] \frac{1}{z}$, [/mm] so ist [mm] $\limsup \sqrt[n]{|a_n x^n|} [/mm] = [mm] \limsup \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] |x| < 1$, womit [mm] $\sum a_n x^n$ [/mm] konvergiert. Ist dagegen $|x| > [mm] \frac{1}{z}$, [/mm] so gilt [mm] $\limsup \sqrt[n]{|a_n x^n|} [/mm] = [mm] \limsup \sqrt[n]{|a_n|} [/mm] |x| > 1$ und somit ist [mm] $\sum a_n x^n$ [/mm] divergent. Folglich ist [mm] $\frac{1}{z}$ [/mm] der Konvergenzradius.
Waer natuerlich praktisch, wenn ihr das gleich im Skript drinnen stehen haben wuerdet.
HTH & LG, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Also diesen Satz hatten wir noch nicht. Hab ich jetzt auch leider nicht ganz verstanden. kann ich was alternatives verwenden? Was anderes. Gibt ja bestimmt mehrere Wege... :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Also diesen Satz hatten wir noch nicht. Hab ich jetzt auch
> leider nicht ganz verstanden. kann ich was alternatives
> verwenden? Was anderes. Gibt ja bestimmt mehrere Wege... :(
Schreib doch mal womit ihr bisher Konvergenzradien ausgerechnet habt.
Man kann das ganze ueberigens auch ueber das Quotientenkritierium machen, da bekommt man dann eine leicht andere Formel raus und man muss hier dann auch anders abschaetzen. Habt ihr das bisher damit gemacht?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Also wir hatten Couchy Folgen. Weierstraß. Wurzelkriterium. Quotienkriterium. Ja... Also Quotientenkrieterium kenn ich. Damit kann man also was anfangen ja?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Also wir hatten Couchy Folgen. Weierstraß. Wurzelkriterium.
> Quotienkriterium. Ja... Also Quotientenkrieterium kenn ich.
> Damit kann man also was anfangen ja?
Ja, kannst du. Die entsprechende Formel von Cauchy-Hadamard lautet dann $r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}$; [/mm] der Beweis geht genauso wie beim Wurzelkriterium.
(Das Quotientenkriterium lautet in allgemeiner Form: Ist [mm] $\sum a_n$ [/mm] eine Reihe mit [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ fuer alle $n$ und $a := [mm] \limsup_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$, [/mm] so gilt: Ist $a < 1$, so konvergiert [mm] $\sum a_n$ [/mm] absolut, und ist $a > 1$, so divergiert [mm] $\sum a_n$.)
[/mm]
Aber schreib doch mal wie ihr bisher Potenzreihen behandelt habt!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Sa 07.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Ahhh!! Das war das passende Stichwort. Jetzt hab ich doch glatt mal was gefunden im Skript. Ein wunder!!! Hier:
Auf die Reihe R(x) trifft genau eine der folgenden drei Aussagen zu:
(A1) Sie konvergiert nur für x = 0 ,
(A2) Sie konvergiert für alle x absolut ,
(A3) Es gibt eine reelle Zahl r , so dass die Reihe für alle x mit | x | < r absolut konvergiert und für kein x mit | x | > r konvergiert.
Bemerkung 1:
Man setzt r in den beiden ersten Fällen gleich 0 bzw. ¥ und nennt r auch Konvergenzradius.
Die Bezeichnung hat mit dem Fall komplexer Reihen zu tun, wo r der Radius eines Kreises wird.
Hier kennzeichnet r natürlich ein Intervall.
Bemerkung 2:
Man beachte, dass im dritten Fall nichts für | x | = r ausgesagt wird.
Bemerkung 3:
Mittels L = limsup [mm] \wurzel[n]{|an|} [/mm] kann man die Fälle durch L = [mm] \infty, [/mm] L = 0 bzw. r = 1/ L charakterisieren.
Dabei ist limsup [mm] \wurzel[n]{|an|} [/mm] das Supremum aller p [mm] \in [/mm] R , so dass gilt
[mm] \wurzel[n]{|an|} [/mm] > p für unendliche viele n.
Gilt dies mit allen p, setzt man L = [mm] \infty. [/mm] Existiert L' = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|an|} [/mm] so ist einfach L = L'.
Dann folgt der Beweis. :)
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