Konvergenzintervall einer Pote < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Hier die Aufgabe:
Unter Benutzung des Konvergenzintervalles von Potenzreihen gebe man in der folgenden Reihe einerseits möglichst viele x-Werte an, wo die Konvergenz gesichert ist, andererseits möglichst viele x-Werte mit gesicherter Divergenz.
Reihe: [mm] \summe c_k*(x+5)^k [/mm] für x=0 divergent, für x = -7 konvergent |
Hallo alle zusammen,
ich bin mir bei obiger Aufgabe nicht ganz sicher, wie ich die Lösen soll.
Ich dachte mir das bis jetzt so:
Die Entwicklungsstelle ist ja [mm] x_0 [/mm] = -5. Für x=0 steht ja +5 innerhalb der Klammer und bei x=-7 steht da -2. Ich würd jetzt sagen, der Konvergenzradius ist 3 und für alle x<=-2 ist alles konvergent und für x>=5 sind alle Werte divergent.
Kann man das einfach so machen? Wenn nein, könntet ihr mir bitte auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank!
Gruß Manu
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Hi Manu,
also noch einmal die Zusammenfassung was gefragt ist:
Suche Intervalle, wo die Reihe gewiss konvergiert und suche Intervalle, wo die Reihe gewiss divergiert.
> Hier die Aufgabe:
> Unter Benutzung des Konvergenzintervalles von Potenzreihen
> gebe man in der folgenden Reihe einerseits möglichst viele
> x-Werte an, wo die Konvergenz gesichert ist, andererseits
> möglichst viele x-Werte mit gesicherter Divergenz.
>
> Reihe: [mm]\summe c_k*(x+5)^k[/mm] für x=0 divergent, für x = -7
> konvergent
Hat man eigentlich noch Infos über das [mm] c_k [/mm] ?
> Hallo alle zusammen,
>
> ich bin mir bei obiger Aufgabe nicht ganz sicher, wie ich
> die Lösen soll.
> Ich dachte mir das bis jetzt so:
> Die Entwicklungsstelle ist ja [mm]x_0[/mm] = -5. Für x=0 steht ja
> +5 innerhalb der Klammer und bei x=-7 steht da -2. Ich
> würd jetzt sagen, der Konvergenzradius ist 3 und für alle
> x<=-2
Also etwa auch für x=-100? Kannst du da wirklich etwas für die Konvergenz sagen?
> ist alles konvergent und für x>=5 sind alle Werte
> divergent.
> Kann man das einfach so machen? Wenn nein, könntet ihr
> mir bitte auf die Sprünge helfen?
Ich würde dir empfehlen: Löse das wirklich in Intervallschreibweise, teile also die reelle Achse mal auf und betrachte immer die kritischen Stellen:
[mm] I_1=(-\infty,-7)
[/mm]
[mm] I_2=(-7,-5)
[/mm]
[mm] I_3=(-5,-3)
[/mm]
[mm] I_4=(-3,0)
[/mm]
[mm] I_5=(0,\infty)
[/mm]
Mach dir insbesondere Gedanken über die Grenzen der Intervalle.
So viel sei schon einmal verraten:
[mm] I_5=(0,\infty) \Rightarrow [/mm] Reihe ist divergent.
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Do 12.06.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo Richie,
also erstmal über das [mm] c_k [/mm] gibts keine weiteren Infos.
Was meinst du mit "in Intervallschreibweise" lösen? Also das ich mich nur auf die Intervalle konzentriere?
Also meine erste Frage wäre jetzt: Wie komm ich denn auf die Intervalle:
[mm] I_1=(\infty,-7), [/mm] weil bei -7 die erste Information vorliegt?
[mm] I_2=(-7,-5), [/mm] weil [mm] x_0=-5 [/mm] ist und somit nach -7 dort die nächste Info vorliegt?
[mm] I_3=(-5,-3), [/mm] wie kommt man darauf? Weil der Abstand von (-7,-5) auch 2 war?
[mm] I_4=(-3,0), [/mm] weil bei 0 die nächste Information vorliegt?
[mm] I_5=(0,\infty), [/mm] weil bei 0 die letzte Info vorlag?
Wäre super, wenn du mir sagen könntest, ob meine Schlussfolgerungen, wie man auf die Intervalle kommt, richtig sind zbw. wo ich falsch liege.
Dankeschön!
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Hallo,
> also erstmal über das [mm]c_k[/mm] gibts keine weiteren Infos.
Ok, das ist wichtig zur weiteren Klärung (es geht dann nicht darum, ob man an fraglichen Stellen durch Angabe eines passenden [mm] c_k [/mm] Konvergenz 'herstellen' kann).
> Was meinst du mit "in Intervallschreibweise" lösen? Also
> das ich mich nur auf die Intervalle konzentriere?
Ja. Konzentriert nachdenken. 
> Also meine erste Frage wäre jetzt: Wie komm ich denn auf
> die Intervalle:
> [mm]I_1=(\infty,-7),[/mm] weil bei -7 die erste Information
> vorliegt?
Ja, und weil dir das sagt (siehe die Antwort von FRED): es ist sicherlich [mm] R\ge{2}
[/mm]
> [mm]I_2=(-7,-5),[/mm] weil [mm]x_0=-5[/mm] ist und somit nach -7 dort die
> nächste Info vorliegt?
Es geht nicht darum, ob eine Info vorliegt oder nicht, sondern was diese Info inhaltlich besagt. x=-5 ist dein Entwicklungspunkt, an x=-7 liegt nach Aufgabenstellung Konvergenz vor, hier kann man übrigens die Intervalle zusammenfassen (da ist Richie vermutlich ein kleiner Fehler unterlaufen). Mit deinem bisherigen Wissen kannst du schon sagen, dass auf [-7;-3) Konvergenz vorliegt.
> [mm]I_3=(-5,-3),[/mm] wie kommt man darauf? Weil der Abstand von
> (-7,-5) auch 2 war?
Siehe oben.
> [mm]I_4=(-3,0),[/mm] weil bei 0 die nächste Information vorliegt?
Ja, und über dieses Intervall denke einmal nach.
> [mm]I_5=(0,\infty),[/mm] weil bei 0 die letzte Info vorlag?
>
Ja, und diese Info hat auch einen Inhalt: an der Stelle x=0 ist die Reihe divergent und damit logischerweise auch für größere x-Werte, da dein Entwicklungpunkt kleiner Null ist.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hier die Aufgabe:
> Unter Benutzung des Konvergenzintervalles von Potenzreihen
> gebe man in der folgenden Reihe einerseits möglichst viele
> x-Werte an, wo die Konvergenz gesichert ist, andererseits
> möglichst viele x-Werte mit gesicherter Divergenz.
>
> Reihe: [mm]\summe c_k*(x+5)^k[/mm] für x=0 divergent, für x = -7
> konvergent
> Hallo alle zusammen,
>
> ich bin mir bei obiger Aufgabe nicht ganz sicher, wie ich
> die Lösen soll.
> Ich dachte mir das bis jetzt so:
> Die Entwicklungsstelle ist ja [mm]x_0[/mm] = -5. Für x=0 steht ja
> +5 innerhalb der Klammer und bei x=-7 steht da -2. Ich
> würd jetzt sagen, der Konvergenzradius ist 3
Wie kommst Du darauf ?
> und für alle
> x<=-2 ist alles konvergent und für x>=5 sind alle Werte
> divergent.
> Kann man das einfach so machen?
Nein.
> Wenn nein, könntet ihr
> mir bitte auf die Sprünge helfen?
Sei R der Konvergenzradius. Dann hat man
(1) Konvergenz für |x+5|<R
und
(2) Divergenz für |x+5| >R
Da die Potenzreihe für x=0 divergiert und für x=-7 konvergiert folgt:
2 [mm] \le [/mm] R [mm] \le [/mm] 5.
Ist 2<R<5, so leistet die Potenzreihe mit [mm] c_k=\bruch{1}{R^k} [/mm] das Verlangte.
Ist R=2, so leistet die Potenzreihe mit [mm] c_k=\bruch{1}{2^k*k} [/mm] das Verlangte.
Ist R=5, so leistet die Potenzreihe mit [mm] c_k=\bruch{1}{5^k*k} [/mm] das Verlangte.
FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß Manu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Do 12.06.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Also vielen Dank für die umfangreichen Antworten.
Leider hab ich noch nicht alles verstanden :P
Also, das mit Konvergenz für [mm] \left| x+5 \right| \le [/mm] R verstehe ich. Denn ich setze für x dann -7 ein, der Betrag ist dann 2, also ist der kleinste Konvergenzradius erstmal 2, also R [mm] \ge [/mm] 2. Daraus folgt sozusagen die erste sichere Erkenntnis, dass im Intervall [-7,-3] für alle x Konvergenz vorliegt.
Aber ab jetzt bin ich mir nicht mehr so sicher. Ich setze dann x=0 und der Betrag ist dann 5. Woher weiß ich jetzt, dass das meine Obergrenze des Konvergenzradius ist, also das 2 [mm] \le [/mm] R < 5? (es müsste doch hier dann auch nur "kleiner" 5 sein, da ja bei x=0 schon Divergenz vorliegt, oder?)
Und noch eine Frage für mein Verständnis: Wie kann ich mir das vorstellen? Also ich hab sozusagen nen Zahlenstrahl, wo meine -5 drauf ist. Um diese -5 will ich jetzt meinen Kreis anhand des Konvergenzradius zeichnen. Der maximale Konvergenzradius wäre also 5, das heißt, mein Kreis würde bei -10 und 0 die x-Achse schneiden und für alle x von -10 bis 0 konvergiert die Reihe?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo,
fassen wir mal zusammen: wegen [mm] R\ge{2} [/mm] konvergiert die Reihe auf [-7;-3) sicher. Da wir R<5 wissen, könnte es sogar sein, dass das Konvergenz-Intervall (-10;0) ist (bitte überlege selbst, weshalb ich hier den Konjunktiv verwende sowie ein halboffenes Intervall!)
Sich den Konvergenzradius als Kreisscheibe vorzustellen, ist eine gute Idee! Für komplexe Zahlen ist es nämlich so: auf der durch den Konvergenzradius vorgegebenen Kreisscheibe ohne Rand um den Entwicklungspunkt konvergiert die Reihe auf jeden Fall. Die Ränder bergen jedoch noch das eine oder andere Problem...
Zurück in [mm] \IR [/mm] wird aus der Kreisscheibe naturgemäß ein Intervall. Reelle Potenzreihen konvergieren bei bekanntem Konvergenzradius R auf jeden Fall auf [mm] (x_0-R;x_0+R). [/mm] Die Ränder muss man stets getrennt untersuchen.
Diese Aufgabe ist ganz offensichtlich dazu da, all dieses Wissen anzuwenden. Überlege jetzt also nochmal ganz genau:
- wo konvergiert die Reihe garantiert?
- wo konvergiert sie eventuell?
- wo konvergiert sie garantiert nicht?
EDIT: und da kommen jetzt die Antworten von FRED ins Spiel. Ich habe nämlich heute vormittag die Aufgabe insofern falsch verstanden, als ich die Formulierung 'möglichst viele x-Werte' überlesen habe. Und genau über diese Klippe möchte FRED uns die ganze Zeit drüber helfen...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Das habe ich Dir schon gesagt:
2 $ [mm] \le [/mm] $ R $ [mm] \le [/mm] $ 5.
Ist 2<R<5, so leistet die Potenzreihe mit $ [mm] c_k=\bruch{1}{R^k} [/mm] $ das Verlangte.
Ist R=2, so leistet die Potenzreihe mit $ [mm] c_k=\bruch{1}{2^k\cdot{}k} [/mm] $ das Verlangte.
Ist R=5, so leistet die Potenzreihe mit $ [mm] c_k=\bruch{1}{5^k\cdot{}k} [/mm] $ das Verlangte.
Für jedes R mit 2 $ [mm] \le [/mm] $ R $ [mm] \le [/mm] $ 5 gibt es also eine Potenzreihe, die in o divergiert und in -7 konvergiert,
Mehr kann man nicht sagen:
ich habe fertig.
Giovanni Fredatoni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Do 12.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo FREDatoni,
da hättest du auch gleich fragen können: 'was erlauben diese Diophaaant?'
Mittlerweile habe ich die Aufgabe jetzt richtig verstanden und meinen obigen Beitrag noch etwas nachbearbeitet.
Gruß, Flasche leer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FREDatoni,
>
> da hättest du auch gleich fragen können: 'was erlauben
> diese Diophaaant?'
>
> Mittlerweile habe ich die Aufgabe jetzt richtig verstanden
> und meinen obigen Beitrag noch etwas nachbearbeitet.
>
> Gruß, Flasche leer
Wohl zuviel Grappatoni reingeschüttet ?
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin FRED,
> Wohl zuviel Grappatoni reingeschüttet ?
nö, gestern gabs Apfelschorle.
Im Lichte des neuen Tages betrachtet (und bei wesentlich angenhmeren Temperaturen als gestern) habe ich die Aufgabe nochmal durchgelesen. Ich glaube, es liegt hier ein semantisches Problem vor in Form der Formulierung
...gebe man in der folgenden Reihe einerseits möglichst viele x-Werte an, wo die Konvergenz gesichert ist, andererseits möglichst viele x-Werte mit gesicherter Divergenz
Du hast das so interetiert, dass man sich für 'zweifelhafte Bereiche' halt ein geeignetes [mm] c_k [/mm] baut, denn es heißt ja: möglichst viele x-Werte...
Ich (und Richie wohl auch, wenn ich ihn richtig verstehe) haben es so interpretiert, dass [mm] c_k [/mm] beliebig aber fest sein soll und man ausgehend vom Entwicklungspunkt x=-5, der Konvergenz bei x=-7 sowie der Divergenz bei x=0 eben das Intervall angeben soll, wo die Reihe auf jeden Fall konvergiert sowie diejenigen, wo sie garantiert divergiert.
Kann es also sein, dass diese Aufgabenstellung letztendlich sprachlich ziemlich verunglückt ist?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Moin FRED,
>
> > Wohl zuviel Grappatoni reingeschüttet ?
>
Hallo Diophant,
> nö, gestern gabs Apfelschorle.
ich hatte gestern Riesling und Ouzo !
> Im Lichte des neuen Tages betrachtet (und bei wesentlich
> angenhmeren Temperaturen als gestern) habe ich die Aufgabe
> nochmal durchgelesen. Ich glaube, es liegt hier ein
> semantisches Problem vor in Form der Formulierung
>
> ...gebe man in der folgenden Reihe einerseits möglichst
> viele x-Werte an, wo die Konvergenz gesichert ist,
> andererseits möglichst viele x-Werte mit gesicherter
> Divergenz
>
> Du hast das so interetiert, dass man sich für
> 'zweifelhafte Bereiche' halt ein geeignetes [mm]c_k[/mm] baut, denn
> es heißt ja: möglichst viele x-Werte...
>
> Ich (und Richie wohl auch, wenn ich ihn richtig verstehe)
> haben es so interpretiert, dass [mm]c_k[/mm] beliebig aber fest sein
> soll und man ausgehend vom Entwicklungspunkt x=-5, der
> Konvergenz bei x=-7 sowie der Divergenz bei x=0 eben das
> Intervall angeben soll, wo die Reihe auf jeden Fall
> konvergiert sowie diejenigen, wo sie garantiert
> divergiert.
>
> Kann es also sein, dass diese Aufgabenstellung letztendlich
> sprachlich ziemlich verunglückt ist?
Ja, da stimme ich Dir zu.
Bei Deiner Auffassung der Aufgabe sollte die Lösung dann lauten:
garantierte Konvergenz im Intervall $[-7,-3)$
und
garantierte Divergenz in $(- [mm] \infty,-10) \cup [/mm] [0, [mm] \infty)$
[/mm]
Gruß FRED
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo nochmal,
> > nö, gestern gabs Apfelschorle.
>
> ich hatte gestern Riesling und Ouzo !
wie du siehst, hat bei mir gestern schon das Apfelschorle zusammen mit den Temperaturen bewusstseinserweiternd gewirkt. 
> > Im Lichte des neuen Tages betrachtet (und bei wesentlich
> > angenhmeren Temperaturen als gestern) habe ich die Aufgabe
> > nochmal durchgelesen. Ich glaube, es liegt hier ein
> > semantisches Problem vor in Form der Formulierung
> >
> > ...gebe man in der folgenden Reihe einerseits möglichst
> > viele x-Werte an, wo die Konvergenz gesichert ist,
> > andererseits möglichst viele x-Werte mit gesicherter
> > Divergenz
> >
> > Du hast das so interetiert, dass man sich für
> > 'zweifelhafte Bereiche' halt ein geeignetes [mm]c_k[/mm] baut, denn
> > es heißt ja: möglichst viele x-Werte...
> >
> > Ich (und Richie wohl auch, wenn ich ihn richtig verstehe)
> > haben es so interpretiert, dass [mm]c_k[/mm] beliebig aber fest sein
> > soll und man ausgehend vom Entwicklungspunkt x=-5, der
> > Konvergenz bei x=-7 sowie der Divergenz bei x=0 eben das
> > Intervall angeben soll, wo die Reihe auf jeden Fall
> > konvergiert sowie diejenigen, wo sie garantiert
> > divergiert.
> >
> > Kann es also sein, dass diese Aufgabenstellung letztendlich
> > sprachlich ziemlich verunglückt ist?
>
> Ja, da stimme ich Dir zu.
>
> Bei Deiner Auffassung der Aufgabe sollte die Lösung dann
> lauten:
>
> garantierte Konvergenz im Intervall [mm][-7,-3)[/mm]
>
> und
>
> garantierte Divergenz in [mm](- \infty,-10) \cup [0, \infty)[/mm]
Ja, genau so ist es. Meine Fehler oben habe ich jetzt nochmals nacheditiert und die Themenstarterin der Themenstarter kann sich ja jetzt eine Interpretation heraussuchen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo!
Ja, also die letztere Interpretation entspricht auch meinem Verständnis. Also gesicherte Konvergenz für -7 bis -3 und gesicherte Divergenz für x < -10 und x > 0.
Eine kleine Frage dann noch zur Intervallschreibweise: Gesicherte Konvergenz im Intervall [-7,-3). Warum nach der -3 eine Runde Klammer? Der Konvergenzradius ist ja [mm] \ge [/mm] 2, deswegen gehört doch definitiv die -3 mit dazu, genau wie die -7 und bei beiden weiß ich nicht, ob der nachfolgende Abschnitt bis -10 bzw. bis 0 auch konvergent ist, oder?
Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholen!
PS: Ich bin ein ThemenstartER
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Fr 13.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Ja, also die letztere Interpretation entspricht auch meinem
> Verständnis. Also gesicherte Konvergenz für -7 bis -3 und
> gesicherte Divergenz für x < -10 und x > 0.
> Eine kleine Frage dann noch zur Intervallschreibweise:
> Gesicherte Konvergenz im Intervall [-7,-3). Warum nach der
> -3 eine Runde Klammer?
Im "schlimmsten" Fall ist der Konvergenzradius =2. Dann hat man sicher Konvergenz für |x+5|<2, also für
-7<x<-3,
d.h.: im Intervall (-7,-3). Nach Aufgabenstellung ist die Potenzreihe in -7 konvergent, wir bekommen also das Intervall [-7,-3).
Da über die [mm] c_k [/mm] nichts bekannt ist, ist auch eine (sichere) Konvergenzaussage im rechten Randpunkt des Intevalls [-7,-3) nicht möglich.
> Der Konvergenzradius ist ja [mm]\ge[/mm] 2,
> deswegen gehört doch definitiv die -3 mit dazu,
s.o.
> genau wie
> die -7 und bei beiden weiß ich nicht, ob der nachfolgende
> Abschnitt bis -10 bzw. bis 0 auch konvergent ist, oder?
Im Intervall (- [mm] \infty, [/mm] -10) haben wir garantierte Divergenz, ebenso in [0, [mm] \infty)
[/mm]
Mehr kann man nicht sagen.
FRED
>
> Vielen Dank, ihr habt mir sehr geholen!
>
> PS: Ich bin ein ThemenstartER
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