Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich grüble schon ne ganze Weile an folgender Aufgabe
ich weiss leider nicht welches Kriterium , zum Nachweis der Konvergenz, ich hier anwenden soll...das Quotientenkriterium ergibt 1,
und das heißt ja, dasses mit dem nicht geht
mit dem Wurzelkriterium komme ich auch nicht sonderlich weit...
mit welchem könnte es gehen? ich komme da absolut nich dahinter
wär schön, wenn ihr mir einen kleinen Denkansatz geben könntet
k^(1/2)-(k-1)^(1/2)
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:www.onlinemathe.de
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Matthias,
ich würde mal spontan sagen, dass die Reihe $\sum\limits_k\sqrt{k}-\sqrt{k-1}$ divergent ist.
Ich denke, man kann das nach einer kleinen Umformung gegen eine divergente Minorante abschätzen - also mit dem Vergleichs-oder Majorantenkriterium verarzten:
$\sum\limits_k\sqrt{k}-\sqrt{k-1}=\sum\limits_k\frac{k-(k-1)}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$ [erweitert mit $\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}$
$=\sum\limits_k\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}>\sum\limits_k\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}=\frac{1}{2}\sum\limits_k\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{1}{2}\sum\limits_k\frac{1}{k^{\frac{1}{2}}$
Und diese Reihe ist ja divergent (Die Reihen \sum\limits_k\frac{1}{k^s} mit s\le1 sind divergent, mit s>1 konvergent)
Lg
schachuzipus
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Danke für die sehr schnelle Antwort
hm...die Divergenz stimmt(laut offiz. Lösung)
aber wie du das gemacht hast, da komme ich nicht ganz mit, wieso erweitert mit $ [mm] \frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} [/mm] $ ?
das Majoranten/minorantenkriterium versteh ich irgendwie nicht ganz. Habe auch schon im Gelben Rechenbuch versucht mich da rein zu denken, aber so richtig begreife ich nicht, wie und warum man da so vorgehen muss
könntest du mir evtl. einen Leitfaden geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 05.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.auf das erweitern kommt man, wenn man wirklich immer direkt sieht Aha, Binom! [mm] (a-b)*a+b)=a^2-b^2.
[/mm]
2. Wenn eine Summe ab irgendeienem festen n jedes einzelne Glieg größßer ist, als das einer anderen Reihe, dann muss das ergebnis doch auch größer sein!
Das ist das Minorantenkriterium. und ich find das kann man sich gut vorstellen .
du würdest doch sofort sagen 1+1+1+1+..... > 0,9+0,9+0,9+....
umgekehrt, wenn scho ne Summe aus größeren Summanden endlich bleibt, muss die mit den kleineren doch auch.
und letzter Gedanke auf die ersten paar millionen oder Milliarden Summenglieder kommts bei Konvergenz nicht an, weil das immer endlich ist
.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Di 05.06.2007 | | Autor: | Darthwader |
alles klar
Danke für die Lösung und die Tipps, werd mal ein paar Übungsaufgaben dazu lösen
MfG
Vielen Dank nochmal für die schnelle Hilfe
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