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Hallo,
Ich hab eine Frage zu den Konvergenzkriterien bei Potenzreihen:
Das Quotientenkriterium dürfte nicht hinreichend sein, denn ich konnte ein Beispiel konstruieren, in dem fast alle Folgenglieder = 1 waren (was lt. Quotientenkriterium beduetet, dass die Reihe divergent ist), welches aber nach dem Majorantenkriterium konvergent war.
Also wenn ich eine Reihe nach dem Quotientenkriterium als konvergent bestimmen kann, dürfte das reichen. Aber man kann mit dem Quotientenkriterium nicht beweisen, dass eine Reihe divergent ist?!
Lg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Mi 13.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> Ich hab eine Frage zu den Konvergenzkriterien bei
> Potenzreihen:
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> Das Quotientenkriterium dürfte nicht hinreichend sein, denn
> ich konnte ein Beispiel konstruieren, in dem fast alle
> Folgenglieder = 1 waren (was lt. Quotientenkriterium
> beduetet, dass die Reihe divergent ist), welches aber nach
> dem Majorantenkriterium konvergent war.
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> Also wenn ich eine Reihe nach dem Quotientenkriterium als
> konvergent bestimmen kann, dürfte das reichen. Aber man
> kann mit dem Quotientenkriterium nicht beweisen, dass eine
> Reihe divergent ist?!
>
> Lg.
Wenn das Quotientenkriterium nicht greift, muss die Reihe nicht zwangsläufig divergent sein. Du weißt sicher, dass die Reihe von [mm] 1/n^2 [/mm] konvergiert, während die Reihe von 1/n divergiert. In beiden Fällen ist es aber unmöglich, einen geeigneten Quotienten q<1 anzugeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> Ich hab eine Frage zu den Konvergenzkriterien bei
> Potenzreihen:
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> Das Quotientenkriterium dürfte nicht hinreichend sein, denn
> ich konnte ein Beispiel konstruieren, in dem fast alle
> Folgenglieder = 1 waren (was lt. Quotientenkriterium
> beduetet, dass die Reihe divergent ist), welches aber nach
> dem Majorantenkriterium konvergent war.
inwiefern meinst Du nun, dass "fast alle Folgenglieder =1" waren (dass Du damit meinst, dass alle Folgeglieder bis auf endlich viele den Wert $=1$ hatten, ist mir klar, aber von welcher Folge sprichst Du nun?). Welche Folgenglieder? Meinst Du die Folge [mm] $(a_k)_k$ [/mm] einer Potenzreihe [mm] $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$?
[/mm]
Oder geht es um [mm] $(b_k)_k$ [/mm] mit [mm] $b_k:=\frac{a_{k+1}}{a_k}$ [/mm] (sofern man diese Folge überhaupt hinschreiben kann bzw. sofern man sie wenigstens ab einem hinreichend großen Index so schreiben kann, wenn also dann [mm] $a_k \not=0$ [/mm] für alle $k$ ab einem [mm] $k_0$)? [/mm]
Außerdem:
Wenn Du sagst, dass das Quotientenkriterium nicht hinreichend sein dürfte, dann solltest Du bitteschön auch hinzufügen: Für was! Für Konvergenz? Für Divergenz?...
> Also wenn ich eine Reihe nach dem Quotientenkriterium als
> konvergent bestimmen kann, dürfte das reichen. Aber man
> kann mit dem Quotientenkriterium nicht beweisen, dass eine
> Reihe divergent ist?!
In der Tat kann man mit dem Quotientenkriterium beweisen, dass eine Reihe divergiert. Genauso kann man auch mit dem Wurzelkriterium die Divergenz nachweisen. Es gibt halt einfach nur Fälle, wo man mittels des Kriteriums keine Aussage treffen kann (normalerweise ist das deutlich formuliert oder steht sogar als Zusatzaussage dabei):
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
(In Kapitel 6 findest Du einiges, Potenzreihen ab Kapitel 16, welches natürlich insbesondere auf Kapitel 6 zurückgreift.)
(In beiden Fällen läuft das im Wesentlichen darauf hinaus, dass man bei einer Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty x_k$ [/mm] dann einfach zeigt, dass die für die Konvergenz notwendige Bedingung [mm] $x_k \to [/mm] 0$ verletzt ist (bitte beachte: diese Bedingung ist NOTWENDIG, ABER NICHT HINREICHEND).)
Weiterhin findest Du Infos dazu z.B. hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium
Wenn jetzt noch etwas unklar ist, dann solltest Du uns das Beispiel, welches Du konstruiert hast, darlegen und uns daran erläutern, was Du konkret meinst. Denn an dem Wahrheitsgehalt des Satzes von Cauchy-Hadamard läßt sich nichts rütteln, man muss nur im Auge behalten, dass dort keine Aussage über die Konvergenz einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises getroffen wird.
(Dort steht:
[mm] $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$ [/mm] konvergiert für alle $z$ mit [mm] $|z-z_0| [/mm] < r$ und divergiert für alle $z$ mit [mm] $|z-z_0| [/mm] > r$, wobei [mm] $r:=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}}$, [/mm] was ggf. auch [mm] $r=\lim_{k \to \infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|$ [/mm] beinhaltet.
Und im Falle $|z|=r$ läßt sich i.a. keine Aussage über das Konvergenzverhalten der obigen (formalen) Potenzreihe $f$ treffen, was sich wiederum z.B. darausergibt, dass man mittels Anwendung des Wurzelkriteriums auf eine Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty y_k$ [/mm] im Falle, dass [mm] $\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|y_k|} [/mm] < 1$ herauskommt, mit Sicherheit weiß, dass die Reihe [mm] $\sum y_k$ [/mm] konvergiert, im Falle [mm] $\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|y_k|}>1$ [/mm] weiß man mit Sicherheit, dass sie divergiert, aber im Falle [mm] $\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|y_k|}=1$ [/mm] läßt sich mittels des W-Kriteriums keine Aussage treffen.)
Gruß,
Marcel
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