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| Aufgabe | Untersuchen Sie mit Hilfe von Konvergenz- und divergenzkriterien, ob die Reihe konvergent oder sogar absolut konvergent ist:
a) [mm] \summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{\vektor{4n\\3n}}
[/mm]
[mm] b)\summe_{n=1}^\infty [/mm] (1- [mm] n^\bruch{1}{n})^n
[/mm]
[mm] c)\summe_{n=1}^\infty (-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n}
[/mm]
[mm] d)\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{(-1)^n + 3n}
[/mm]
[mm] e)\summe_{n=1}^\infty\bruch{sin (n)}{n^2} [/mm] |
Hi,
ich habe alle Krieterien vorliegen( Wurzel, Majoranten- Minoranten-, Leibniz-, Quotientenkriterium) , weiß jedoch nicht wo ich welches einsetzen soll bzw. bin mir nicht sicher?
a) hier bin ich nur soweit gekommen, dass ich weiß das ich den Binominalkoeff. [mm] \vektor{4n\\3n} [/mm] umschreiben kann in [mm] \bruch{4n!}{3n!(4n-3n)!} [/mm] = [mm] \bruch{4n!}{3n! n!} [/mm] =
[mm] \bruch{(3n+1)...(4n-1)4n}{n!} [/mm]
ich vermute man kann hier abschätzen zu einer simplen Folge und dann mit Majoranten oder Minoranten Kriterium argumentieren.aber ich kommen in beiden Richtungen nicht weiter:
[mm] \bruch{(3n+1)...(4n-1)4n}{n!} \le \bruch{n!}{(3n + 1)n} \le \bruch{n!}{3n^2} [/mm] hier komme ich nicht mehr auf eine konvergente Folge.
[mm] \bruch{(3n+1)...(4n-1)4n}{n!}\ge \bruch{n}{4n ...(3n+1)} [/mm] hier brauche ich ja eine divergente Folge , nach unten abschätzen kann ich dann aber nur mit [mm] \bruch{n}{4n^n} [/mm] ..ob das divergiert ist ,weiß ich nicht. Denke auch, dass man auf Folgen abschätzen kann, bei denen man gleich sieht, ob sie konvergent sind oder nicht.
b) habe hier probiert mit Wurzelkrit. zu arbeiten:
[mm] \wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|} [/mm] = 1 - [mm] n^\bruch{1}{n} [/mm] ---> 1-1=0
=> [mm] \exists [/mm] q [mm] \le [/mm] 1 N=N(q)
[mm] \wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|} \le [/mm] q [mm] \forall n\ge [/mm] N => absolut konvergent
c) Leibniz Krit.:
wegen: [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \wurzel[n]{n} [/mm] ---> 0*1=0 =>Nullfolge
bei der Monotonie komm ich nicht weiter?
d) bitte Idee^^
e)Majorantenkrit:
[mm] |\bruch{sin(n)}{n^2} |\le \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N => [mm] \summe \bruch{1}{n} [/mm] ist eine Majorante von [mm] \summe \bruch{sin (n)}{n^2} [/mm] => [mm] \summe \bruch{sin (n)}{n^2} [/mm] ist absolut konvergent
Snafu
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Hallo!
> Untersuchen Sie mit Hilfe von Konvergenz- und
> divergenzkriterien, ob die Reihe konvergent oder sogar
> absolut konvergent ist:
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{\vektor{4n\\3n}}[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{n=1}^\infty[/mm] (1- [mm]n^\bruch{1}{n})^n[/mm]
> [mm]c)\summe_{n=1}^\infty (-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n}[/mm]
>
> [mm]d)\summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{(-1)^n + 3n}[/mm]
>
> [mm]e)\summe_{n=1}^\infty\bruch{sin (n)}{n^2}[/mm]
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> a) hier bin ich nur soweit gekommen, dass ich weiß das ich
> den Binominalkoeff. [mm]\vektor{4n\\3n}[/mm] umschreiben kann in
> [mm]\bruch{4n!}{3n!(4n-3n)!}[/mm] = [mm]\bruch{4n!}{3n! n!}[/mm] =
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Abschätzung ist glaube ich nicht so leicht.
Versuche stattdessen lieber das Quotientenkriterium, das dürfte relativ schnell zum Ziel (Absolut konvergent) führen.
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> b) habe hier probiert mit Wurzelkrit. zu arbeiten:
> [mm]\wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|}[/mm] = 1 - [mm]n^\bruch{1}{n}[/mm]
> ---> 1-1=0
> => [mm]\exists[/mm] q [mm]\le[/mm] 1 N=N(q)
> [mm]\wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|} \le[/mm] q [mm]\forall n\ge[/mm] N
> => absolut konvergent
Achtung: Das q muss echt kleiner als 1 sein: q < 1.
Du solltest so argumentieren: Da du nun weißt, dass [mm] $\sqrt[n]{|a_{n}|}$ [/mm] eine Nullfolge und somit konvergent ist, existiert für [mm] $\varepsilon [/mm] = q = [mm] \frac{1}{2} [/mm] < 1$ ein [mm] N\in\IN [/mm] so, dass für alle $n> N$ gilt: [mm] $\sqrt[n]{|a_{n}|} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = q = [mm] \frac{1}{2} [/mm] < 1$.
(Das N erhält man direkt aus der Konvergenzeigenschaft).
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> c) Leibniz Krit.:
> wegen: [mm]\bruch{\wurzel[n]{n}}{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \wurzel[n]{n}[/mm]
> ---> 0*1=0 =>Nullfolge
> bei der Monotonie komm ich nicht weiter?
[mm] $(\frac{1}{n})$ [/mm] ist monoton fallen, [mm] $(\sqrt[n]{n})$ [/mm] ist monoton fallen ab n = 3;
also ist das Produkt der beiden Folgen monoton fallend ab n = 3 (Produkte positiver monoton fallender Folgen sind wieder monoton fallen).
--> Konvergenz nach dem Leibnizkriterium.
Du solltest nun noch nachprüfen, ob die Reihe absolut konvergent ist.
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> d) bitte Idee^^
Zeige, dass die harmonische Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}, [/mm] bzw. die eben Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5n} [/mm] eine divergente Minorante ist.
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> e)Majorantenkrit:
> [mm]|\bruch{sin(n)}{n^2} |\le \bruch{1}{n}[/mm] und [mm]\bruch{1}{n} \ge[/mm]
> 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N => [mm]\summe \bruch{1}{n}[/mm] ist eine Majorante
> von [mm]\summe \bruch{sin (n)}{n^2}[/mm] => [mm]\summe \bruch{sin (n)}{n^2}[/mm]
> ist absolut konvergent
??? Man kann doch jede Reihe durch divergente Reihen nach oben abschätzen - dadurch beweist du nichts.
Dein Beweis wäre richtig, würdest du mit [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} [/mm] argumentieren. Diese Reihe ist nämlich wirklich konvergent. Oben argumentierst du aber mit der divergenten harmonischen Reihe...
Grüße,
Stefan
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Hi,
a)hab jetzt die Quotientenregel angewand, kriege den Term aber nicht unter 1:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{4(n+1)....(3(n+1)+1)} \bruch{4n...(3n+1)}{n!} [/mm] = (n+1) [mm] \bruch{4n ...(3n+1)}{4(n+1)....(3(n+1)+1)}, [/mm] ich sehe das der Bruch echt kleiner 1 ist, aber dann stört mich immer noch der (n+1) Faktor?
b)Wegen [mm] \wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|} [/mm] --> 0 , [mm] n-->\infty [/mm] => [mm] \wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|} [/mm] ist eine Nullfolge => [mm] \exists \varepsilon [/mm] = 0,5 mit N = [mm] N(\varepsilon) [/mm] : [mm] \wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = 0,5 < 1
=> [mm] \summe [/mm] (1- [mm] n^\bruch{1}{n})^n [/mm] ist absolut konvergent
c) wegen :
| [mm] (-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n}| [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} \ge \wurzel[n]{n} [/mm] ---> 1 => [mm] \summe \wurzel[n]{n} [/mm] divergiert und
[mm] \wurzel[n]{n} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N => [mm] \summe \wurzel[n]{n} [/mm] ist eine Minorante von [mm] \summe (-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} [/mm] =>
[mm] \summe (-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} [/mm] divergiert, ist somit nicht absolut konvergent
d)n = gerade:
[mm] \bruch{1}{(-1)^n + 3n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 + 3n} \ge \bruch{1}{n + 3n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] , [mm] \summe \bruch{1}{4n} [/mm] divergiert , [mm] \bruch{1}{4n}\ge [/mm] 0
n = ungerade:
[mm] \bruch{1}{(-1)^n + 3n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-1 + 3n} \ge \bruch{1}{ 3n} [/mm] , [mm] \summe \bruch{1}{ 3n} [/mm] divergiert [mm] ,\bruch{1}{3n}\ge [/mm] 0
=> [mm] \summe \bruch{1}{(-1)^n + 3n} [/mm] divergiert
e)habs hier vergessen, dass [mm] \summe \bruch{1}{n} [/mm] divergiert...., ansonsten ist es dann klar.
Snafu
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Hallo> Hi,
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> a)hab jetzt die Quotientenregel angewand, kriege den Term
> aber nicht unter 1:
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)!}{4(n+1)....(3(n+1)+1)} \bruch{4n...(3n+1)}{n!}[/mm]
> = (n+1) [mm]\bruch{4n ...(3n+1)}{4(n+1)....(3(n+1)+1)},[/mm] ich
> sehe das der Bruch echt kleiner 1 ist, aber dann stört
> mich immer noch der (n+1) Faktor?
>
Hier blick ich bei dir erst mal gar nicht durch, also schreib ichs mal ausführlich:
[mm] \bruch{\vektor{4n \\ 3n}}{\vektor{4n+4 \\ 3n+3}}=
[/mm]
[mm] \bruch{(4n)!*(3n+3)!*(n+1)!}{(4n+4)!*(3n)!*n!} [/mm] = [mm] \bruch{(3n+3)*(3n+2)*(3n+1)*(n+1)}{(4n+4)*(4n+3)*(4n+2)*(4n+1)}= \bruch{1}{4}* \bruch{(3n+3)*(3n+2)*(3n+1)}{(4n+3)*(4n+2)*(4n+1)}, [/mm] da letzterer Bruch offensichtlich [mm] \le [/mm] 1 ist, wird das ganze kleiner als [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] also absolut konvergent
> b)Wegen [mm]\wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|}[/mm] --> 0 ,
> [mm]n-->\infty[/mm] => [mm]\wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|}[/mm] ist
> eine Nullfolge => [mm]\exists \varepsilon[/mm] = 0,5 mit N =
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] : [mm]\wurzel[n]{|(1- n^\bruch{1}{n})^n|}[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] = 0,5 < 1
> => [mm]\summe[/mm] (1- [mm]n^\bruch{1}{n})^n[/mm] ist absolut konvergent
>
Sieht gut aus
> c) wegen :
> | [mm](-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n}|[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{n}}{n} \ge \wurzel[n]{n}
[/mm] ---> 1 => [mm]\summe \wurzel[n]{n}[/mm]
Diese Abschätzung ist leider falsch, aber du kannst mit [mm] \ge \bruch{1}{n} [/mm] abschätzen und hast dann deine Minorante...
> divergiert und
> [mm]\wurzel[n]{n} \ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N => [mm]\summe \wurzel[n]{n}[/mm]
> ist eine Minorante von [mm]\summe (-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n}[/mm]
> =>
> [mm]\summe (-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n}[/mm] divergiert, ist
> somit nicht absolut konvergent
>
> d)n = gerade:
> [mm]\bruch{1}{(-1)^n + 3n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1 + 3n} \ge \bruch{1}{n + 3n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4n}[/mm] , [mm]\summe \bruch{1}{4n}[/mm] divergiert ,
> [mm]\bruch{1}{4n}\ge[/mm] 0
Was willst du mit [mm] \bruch{1}{4n}\ge [/mm] 0 aussagen???
[mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] ist auch [mm] \ge [/mm] 0 , die zugehörige Reihe konvergiert aber...
Das Argument wäre eher: [mm] \summe \bruch{1}{4n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}* \summe \bruch{1}{n}, [/mm] die Eigenschaften über die harmonische Reihe kennst du ja..
> n = ungerade:
> [mm]\bruch{1}{(-1)^n + 3n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{-1 + 3n} \ge \bruch{1}{ 3n}[/mm]
> , [mm]\summe \bruch{1}{ 3n}[/mm] divergiert [mm],\bruch{1}{3n}\ge[/mm] 0
>
Hier genauso
> => [mm]\summe \bruch{1}{(-1)^n + 3n}[/mm] divergiert
>
> e)habs hier vergessen, dass [mm]\summe \bruch{1}{n}[/mm]
> divergiert...., ansonsten ist es dann klar.
>
> Snafu
Viele Grüße
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Wieso kann ich mit [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} \ge \wurzel[n]{n} [/mm] nicht abschätzen?
Snafu
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> Wieso kann ich mit [mm]\bruch{\wurzel[n]{n}}{n} \ge \wurzel[n]{n}[/mm]
> nicht abschätzen?
Na weil du mit einer natürlichen Zahl n im Nenner, das Ganze hier kleiner machst statt größer.
Hier: [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] steht quasi eine 1 im Nenner , hier: [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{n} [/mm] wird für n [mm] \ge [/mm] 2 das Ganze kleiner, da der Nenner größer wird...
Deshalb ist die Abschätzung falsch
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Sa 08.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
och nöö.. stimmt!!
Sanfu
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Hallo,
> > c) wegen :
> > | [mm](-1)^n \bruch{\wurzel[n]{n}}{n}|[/mm] =
> > [mm]\bruch{\wurzel[n]{n}}{n} \ge \wurzel[n]{n}
[/mm] ---> 1 =>
> [mm]\summe \wurzel[n]{n}[/mm]
>
> Diese Abschätzung ist leider falsch, aber du kannst mit
> [mm]\ge \bruch{1}{n}[/mm] abschätzen und hast dann deine
> Minorante...
Ich dachte, in meinem Post deutlich gemacht zu haben, dass c) konvergent ist.
Beide Minoranten funktionieren doch schon deswegen nicht, weil sie positiv sind, die Hälfte der Reihenglieder aber negativ!
Grüße,
Stefan
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