Konvergenzkriterien von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mir eben nochmal die Konvergenzkriterien von Reihen (Majoranten-/Minoranten-, Wurzel-, Quotientenkriterium) angeschaut, und jetzt geht mir eine Frage durch den Kopf. So wie ich es sehe, laesst sich doch so ziemlich jede Konvergenzfrage mit lediglich dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium beantworten. Ich will mal 2 Beispiele geben; bitte sagt mir ob das so zulaessig ist:
Beispiel [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n + 2}{2^n}:
[/mm]
[mm] \bruch{n + 2}{2^n} [/mm] < [mm] \bruch{n + 2}{n^3} [/mm] = [mm] \bruch{1 + \bruch{1}{n^2}}{n^2} [/mm] < [mm] \bruch{2}{n^2} [/mm] = 2 [mm] \bruch{1}{n^2} \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n + 2}{2^n} [/mm] ist konvergent.
Beispiel [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2}:
[/mm]
[mm] \bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2} [/mm] = [mm] \bruch{2n + 3}{4n^2 + 4n + 1} [/mm] = [mm] \bruch{2 + \bruch{3}{n}}{4n + 4 + \bruch{1}{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{4n + 4 + \bruch{1}{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{9n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9} \bruch{1}{n} \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2} [/mm] ist divergent.
Wenn das so richtig ist, dann wuerd ich fast soweit gehen, dass ich so ziemlich jede Reihe auf Konvergenz ueberpruefen kann, indem ich einfach schaue, ob die Reihensummanden groesser [mm] \bruch{1}{n} [/mm] bzw. kleiner [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] sind; oder irr ich mich? Das wuerde aber schon fast bedeuten, dass Wurzel- und Quotientenkriterium ueberfluessig sind; wie seht ihr das?
Viele Gruesse,
Martin
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Hallo sancho1980!
> Wenn das so richtig ist, dann wuerd ich fast soweit gehen,
> dass ich so ziemlich jede Reihe auf Konvergenz ueberpruefen
> kann, indem ich einfach schaue, ob die Reihensummanden
> groesser [mm]\bruch{1}{n}[/mm] bzw. kleiner [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] sind;
> oder irr ich mich?
Wie würdest du nach diesen Kriterien [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch {1} {n^{1,5}}[/mm] beurteilen?
Grüße
Karsten
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Die Summenvariable soll natürlich n sein. Sorry!
LG
Karsten
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1:0 fuer dich; aber so eine Reihe kommt in meinen Uebungsaufgaben ueberhaupt nicht vor. Trotzdem werden in den Musterloesungen teilweise Wurzel- und Quotientenkriterium verwendet, obwohl man es leicht auch mit Abschaetzung schaftt. Sind meine Abschaetzungen zulaessig?
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Hallo Martin!
Aus meiner Sicht spricht nichts gegen Deine o.g. Abschätzungen. Allerdings denke ich, dass dies das Wurzel- bzw. Quotientenkriterium nicht überflüssig macht.
Denn es gibt genug Reihen, bei denen Du mit Abschätzung nicht so schnell bist (oder überhaupt zur Lösung kommst), wie mit Wurzel- oder Quotientenkriterium. Also bitte nicht ganz aus Deinem Gedächtnis streichen  ...
Gruß vom
Roadrunner
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> Sind meine Abschaetzungen zulaessig?
Prinzipiell ist gegen Abschätzungen nichts einzuwenden. Die von Dir gebrachten Beispiel sind soweit okay bis auf zwei Kleinigkeiten:
[mm]\bruch{n + 2}{2^n} < \bruch{n + 2}{n^3} \red{(n \ge 2)} = \bruch{1 + \red{\bruch{2}{n}}}{n^2} < \bruch{\red{3}}{n^2} =...[/mm]
[mm]\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2} = \bruch{2n + 3}{4n^2 + 4n + 1} = \bruch{2 + \bruch{3}{n}}{4n + 4 + \bruch{1}{n}} > \bruch{1}{4n + 4 + \bruch{1}{n}} \red{\ge} \bruch{1}{9n} = ...[/mm]
Beachte bei der letzten Ungleichung den Fall n = 1. Ich weiß, ich weiß: ich bin penibel ...
LG
Karsten
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