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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Mo 20.03.2006 | | Autor: | BLADWICH |
| Aufgabe | Untersuche die Reihe auf Konvergenz!
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n²(n-2)!n!}{(2n)!} [/mm] |
Hi
hab ne Frage wie ich hier die Konvergenz nachweise. Welches Kriterium kann ich hier benutzen. Hab erstmal umgeformt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n²*n!(n-2)*n!}{2n!*(2n-2)(2n-1)}
[/mm]
und dann gekürzt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n²*(n-2)}{(2n-2)(2n-1)}
[/mm]
wenn ich nun 2 bis unendlich einsetze konvergiert die Reihe [mm] \to [/mm] 0.
Ist das soweit richtig und könnte mir jemand bitte zeigen wie ich weitermachen müsste??
MFG
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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Hallo und guten Morgen,
ich sehe nicht ganz, wie überhaupt das Summationszeichen der Reihe in Deinen Überlegungen verschwindet und der Limes auftaucht.
Wenn wir
[mm] s_n=\frac{(n-2)!\cdot n!}{(2n)!} [/mm] schreiben, so gilt meiner Rechnung nach
[mm] \frac{s_{n+1}}{s_n}=\left (\frac{n+1}{n}\right )^2\cdot \frac{(n-1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\left (\frac{n+1}{n}\right )^2\cdot \frac{(1-1\slash n)(1+1\slash n)}{(2+1\slash n)(2+2\slash n)}
[/mm]
und das konvergiert gegen [mm] \frac{1}{4}, [/mm] richtig ?
Daher gilt nach dem Quotientenkriterium (siehe zB
http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium ),
dass die Reihe konvergiert.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 20.03.2006 | | Autor: | BLADWICH |
Hi mathiash
Vielen Dank für deine Antwort. Das mit dem Limes ist auf meinem Mist gewachsen, da ich dachte man könnte das einfach dahin schreiben. (Bin eines besseren belehrt ,-))
Hab aber noch ne Frage zu :
$ [mm] s_n=\frac{(n-2)!\cdot n!}{(2n)!} [/mm] $
wie ist das n² weggekommen??
$ [mm] \frac{s_{n+1}}{s_n}=\left (\frac{n+1}{n}\right )^2\cdot \frac{(n-1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\left (\frac{n+1}{n}\right )^2\cdot \frac{(1-1\slash n)(1+1\slash n)}{(2+1\slash n)(2+2\slash n)} [/mm] $
und wo geht da n! nach Anwendung des Qutientenkriteriums hin?
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bladwich!
> Hab aber noch ne Frage zu : [mm]s_n=\frac{(n-2)!\cdot n!}{(2n)!}[/mm]
>
> wie ist das n² weggekommen??
Das hat Mathias schlicht und ergreifend unterschlagen bzw. vergessen!
Richtig ist natürlich: [mm]s_n=\frac{n^2*(n-2)!*n!}{(2n)!}[/mm]
> und wo geht da n! nach Anwendung des Qutientenkriteriums hin?
Da wird die Definition der Fakultät angewandt und gekürzt:
$(n+1)! \ = \ n!*(n+1)$
$[2*(n+1)]! \ = \ (2n+2)! \ = \ (2n)!*(2n+1)*(2n+2)$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Di 21.03.2006 | | Autor: | BLADWICH |
Guten Morgen liebes Forum,
Irgentwie hab ich nen Brett vorm Kopf. Ich fass nochmal kurz zusammen:
$ [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n²(n-2)!n!}{(2n)!} [/mm] $
Vorm dem Kürzen und der Anwendung des Quotientenkriteriums steht dann da:
$ [mm] s_n=n^2\cdot{}\frac{n!\cdot{}(n-2)(n-1)\cdot{}n!}{2n!\cdot{}(2n+1)(2n+2)} [/mm] $
wenn man dann kürzt mit
$ [mm] 1=\frac{n!\cdot n!}{2n!} [/mm] $
und dann das Qutientenkriterium anwendet steht dann da
$ [mm] \frac{s_{n+1}}{s_n}=\left (\frac{n+1}{n}\right )^2\cdot \frac{(n-1)(n+1)}{(2n+1)(2n+2)}=\left (\frac{n+1}{n}\right )^2\cdot \frac{(1-1\slash n)(1+1\slash n)}{(2+1\slash n)(2+2\slash n)} [/mm] $
irgentwie verstehe ich den Schritt im Zähler von (n-2)(n-1) hin nach (n-1)(n+1) aber noch nicht ganz. Lieg ich da falsch mit der Anwendung der Definition vom Binominalkoeffezienten??
Könnte mir bitte jemand diesen Zwischenschritt zeigen ??
Wäre echt ne große Hilfe
Vielen Dank!!
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Guten Morgen zusammen,
> Guten Morgen liebes Forum,
>
> Irgentwie hab ich nen Brett vorm Kopf. Ich fass nochmal
> kurz zusammen:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{n²(n-2)!n!}{(2n)!}[/mm]
>
> Vorm dem Kürzen und der Anwendung des Quotientenkriteriums
> steht dann da:
>
> [mm]s_n=n^2\cdot{}\frac{n!\cdot{}(n-2)(n-1)\cdot{}n!}{2n!\cdot{}(2n+1)(2n+2)}[/mm]
>
> wenn man dann kürzt mit
>
> [mm]1=\frac{n!\cdot n!}{2n!}[/mm]
>
Nein, Du musst schon aufpassen: [mm] 2n!\neq [/mm] (2n)!
Schreiben wir doch nochmal ausführlich:
[mm] s_n= \frac{n^2\cdot (n-2)!\cdot n!}{(2n)!}
[/mm]
[mm] s_{n+1} =\frac{(n+1)^2\cdot (n+1-2)! \cdot (n+1)!}{(2(n+1))!}
[/mm]
und dann bildest Du den Quotienten:
[mm] \frac{s_{n+1}}{s_n}= \frac{(n+1)^2\cdot (n+1-2)!\cdot (n+1)!}{(2(n+1))!}\:\: \cdot\:\: \frac{(2n)!}{n^2\cdot (n-2)!\cdot n!}
[/mm]
und dann vereinfachst Du.
Klappt's damit ?
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Di 21.03.2006 | | Autor: | BLADWICH |
Hi
hab meinen gravierenden Denkfehler gefunden. Hab immer erst kürzen wollen und dann das Quotientenkriterium anwenden wollen. Sorry.
eine Frage bleibt aber trotzdem noch offen.
nachdem zusammenfassen von sn und sn+1 bleibt ja im Zähler (n+1-2) stehen. Das wird dann einfach verrechnet zu (n-1) richtig??
im Nenner von sn steht weiterhin noch das (n-2)!, was dann ja aufelöst wird mit der Definition zu n!(n-2). das n! wird dann ja rausgekürzt. Was geschieht dann aber weiterhin mit der Klammer (n-2). Die muss doch dann auch berücksichtigt werden oder??
Und wie kommt man letztendlich zu 1/4?
MFG
(Ich hoffe diese Fragen sind nicht zu banal und ihr seit nicht zu genervt von dem dummen rum gefrage)
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Nein! Genau andersrum wird ein Schuh draus:
