Konvergenzkriterium von Cauchy < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Intuitiv erscheint sie mir ja logisch, aber der formale Beweis will nicht so recht...
Es seien (an) eine Folge und q e (0,1) mit
|a(n+1) - a(n)| <= q |a(n) - a(n-1)| (n => 2).
Zeigen Sie die Konvergenz von (a(n)).
Hinweis: Konvergenkriterium von Cauchy.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:50 So 09.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Es seien (an) eine Folge und q [mm] \in [/mm] (0,1) mit
[mm] |a(n+1)-a(n)|\leq|a(n)-a(n-1)| (n\ge2).
[/mm]
Daraus folgt doch, auch, dass
q [mm] \in [/mm] (0,1), nimmt die Grenzen 0,1 also nie an:
=> 0<q<1
Entweder nachdenken oder durch Induktion beweisen (geometrische Reihe zum Schluss benutzen):
[mm] |a(n+1)-a(n)|\le q^{1}|a(n)-a(n-1)|\le q^{2}|a(n-1)-a(n-2)| [/mm]
[mm] \le [/mm] ...... [mm] \le q^{n}|a(1)-a(0)|
[/mm]
<=> [mm] 0\le|a(n)-a(n-1)|\le q^{n} [/mm] const
Wenn n -> [mm] \infty, [/mm] dann const ->0
=> [mm] a_{n} [/mm] ist konvergent, [mm] a_{n} [/mm] ist eine Cauchy Folge
Ich würds aber über Induktion machen, dann hast du es direkter, finde ich !
Hoffe dir geholfen zu haben
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 So 09.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Entweder nachdenken oder durch Induktion beweisen
> (geometrische Reihe zum Schluss benutzen):
>
> [mm]|a(n+1)-a(n)|\le q^{1}|a(n)-a(n-1)|\le q^{2}|a(n-1)-a(n-2)|[/mm]
>
> [mm]\le[/mm] ...... [mm]\le q^{n}|a(1)-a(0)|
[/mm]
>
> <=> [mm]0\le|a(n)-a(n-1)|\le q^{n}[/mm] const
Soweit ist das richtig, das kann man sehr leicht mit Induktion machen.
> Wenn n -> [mm]\infty,[/mm] dann const ->0
Du meinst [mm]q^n * [/mm]const [mm]\to 0 [/mm]
> => [mm]a_{n}[/mm] ist konvergent, [mm]a_{n}[/mm] ist eine Cauchy Folge
Das stimmt nicht. Nur weil die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder gegen Null geht, heisst das noch lange nicht, dass die Folge selber konvergeirt. (Da gbit es eine gewisse, ganz bekannte Reihe, nämlich die harmonische)
Man soll hier vielmehr zeigen, daß [mm]a_n[/mm] eine Cauchygolge ist, dh [mm]\forall \varepsilon > 0 \exists N \in \IN \forall n,m \ge N |a_n-a_m| < \varepsilon[/mm].
Jetzt fragt man sich: wie kann man aus obiger Bedingung ableiten, daß die Folge eine Cauchyfolge ist? Ich will da erstmal nicht zuviel verraten, nur soweit: Viele triviale Faktoren der Form [mm]a_k-a_k[/mm] einfügen.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi SEcki !
Du hast mit deiner Korrektur vollkommen recht.
Wir haben das so in einer Übung gemacht und genau das was du kritisierst, habe ich ich mich später gefragt, warum das gilt:
Nur weil die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder gegen Null geht, heisst das noch lange nicht, dass die Folge selber konvergiert.
Ich dachte nur, wäre zu doof ! :-(
Zu deinem Tipp:
[mm] |a_{n+1}-a_{n}|=|a_{n+1}-a_{k}+a_{k}-a_{n}| \le|a_{n+1}-a_{k}|+a_{k}-a_{n}|
[/mm]
Das mache ich bei allen, aber dann kommt ich net weiter.. ?
Danke schon mal für die Verbesserung & Korrektur
Faenôl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mi 12.01.2005 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
> Wir haben das so in einer Übung gemacht und genau das was
> du kritisierst, habe ich ich mich später gefragt, warum das
> gilt:
Äh, was habt ihr da genau gemacht?!?
> Zu deinem Tipp:
> [mm]|a_{n+1}-a_{n}|=|a_{n+1}-a_{k}+a_{k}-a_{n}| \le|a_{n+1}-a_{k}|+a_{k}-a_{n}|
[/mm]
>
> Das mache ich bei allen, aber dann kommt ich net weiter..
> ?
So war das nicht gemeint, also: Fixiere N und dann [mm]\forall m,n > N\quad |a_n-a_m|=|\sum_{l=n}^{m-1}(a_k-a_{k+1})|[/mm]. So, und nun du ...
SEcki
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