Konvergenzmenge finden < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme die Menge in der [mm] \sum_{k\ge 0} \left( \frac{z}{z+1}\right)^k [/mm]
absolut konvergiert. |
Hallo,
ich dachte hier an eine Fallunterscheidung. Wenn z>0 dann ist [mm] \frac{z}{z+1} [/mm] < 1 und mit der geometrischen Reihe konvergiert die Summe gegen z+1. Ist das bis jetzt richtig? Wie gehe ich jetzt in dem zweiten Fall (z<0)vor? Außerdem verwirrt mich der Begriff "Menge" in der Aufgabenstellung. Ist der gleich zu setzen mit der Aufgabenstellung den Konvergenzradius mit Mittelpunkt zu finden?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Sa 05.08.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo,
die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall [mm] [0,\infty)\in \IR [/mm] oder [mm] \IR^+
[/mm]
falls z [mm] \in \IR,
[/mm]
für komplexe Zahlen macht ja z>0 keinen Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur reelle Folgen?
für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine Nullfolge bilden.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall
> [mm][0,\infty)\in \IR[/mm] oder [mm]\IR^+[/mm]
> falls z [mm]\in \IR,[/mm]
> für komplexe Zahlen macht ja z>0 keinen
> Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur
> reelle Folgen?
z soll sogar komplex sein. Also hast du Recht und das war wohl der Fall, dass z=x wobei x>0 was ich da dachte. Ich könnte z auch als real und Imaginärteil darstellen aber weiß nicht ob mir das weiterhilft?
> für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine Nullfolge
> bilden.
Also wenn z=x und x<0 dann kann es keine Nullfolge sein, da der Zähler immer größer ist als der Nenner....
Ich weiß immer noch nicht so recht wie ich vorangehen soll....
> Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Sa 05.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> > die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall
> > [mm][0,\infty)\in \IR[/mm] oder [mm]\IR^+[/mm]
> > falls z [mm]\in \IR,[/mm]
> > für komplexe Zahlen macht ja z>0
> keinen
> > Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur
> > reelle Folgen?
> z soll sogar komplex sein. Also hast du Recht und das war
> wohl der Fall, dass z=x wobei x>0 was ich da dachte. Ich
> könnte z auch als real und Imaginärteil darstellen aber
> weiß nicht ob mir das weiterhilft?
> > für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine
> Nullfolge
> > bilden.
> Also wenn z=x und x<0 dann kann es keine Nullfolge sein,
> da der Zähler immer größer ist als der Nenner....
Ja, ja, manchmal weiss man Sachen die gar nicht stimmen. Schau die mal die Sache mit x=-1/4 oder x= -0,12345678987897 an.
> Ich weiß immer noch nicht so recht wie ich vorangehen
> soll....
Es müffelt nach geometrischer Reihe mit [mm] $q=\frac{z}{z+1}$, [/mm] wobei ich davon ausgehe, dass z komplex ist.
[mm] \sum_{k \ge 0}q^k [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] |q|<1 [mm] \gdw [/mm] |z|<|z+1| [mm] \gdw |z|^2<|z+1|^2.
[/mm]
Wenn Du nun für komplexes w berücksichtigst, dass $ [mm] |w|^2=w \overline{w}$ [/mm] gilt, solltest Du kommen auf
$ |z|<|z+1| [mm] \gdw [/mm] Re(z)>-1/2$.
> > Gruß leduart
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:11 So 06.08.2017 | | Autor: | Herzblatt |
> > > Hallo,
> > > die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall
> > > [mm][0,\infty)\in \IR[/mm] oder [mm]\IR^+[/mm]
> > > falls z [mm]\in \IR,[/mm]
> > > für komplexe Zahlen macht
> ja z>0
> > keinen
> > > Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur
> > > reelle Folgen?
> > z soll sogar komplex sein. Also hast du Recht und das
> war
> > wohl der Fall, dass z=x wobei x>0 was ich da dachte. Ich
> > könnte z auch als real und Imaginärteil darstellen aber
> > weiß nicht ob mir das weiterhilft?
> > > für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine
> > Nullfolge
> > > bilden.
> > Also wenn z=x und x<0 dann kann es keine Nullfolge
> sein,
> > da der Zähler immer größer ist als der Nenner....
>
> Ja, ja, manchmal weiss man Sachen die gar nicht stimmen.
> Schau die mal die Sache mit x=-1/4 oder x=
> -0,12345678987897 an.
>
>
> > Ich weiß immer noch nicht so recht wie ich vorangehen
> > soll....
>
> Es müffelt nach geometrischer Reihe mit [mm]q=\frac{z}{z+1}[/mm],
> wobei ich davon ausgehe, dass z komplex ist.
>
> [mm]\sum_{k \ge 0}q^k[/mm] konvergiert [mm]\gdw[/mm] |q|<1 [mm]\gdw[/mm] |z|<|z+1|
> [mm]\gdw |z|^2<|z+1|^2.[/mm]
>
> Wenn Du nun für komplexes w berücksichtigst, dass [mm]|w|^2=w \overline{w}[/mm]
> gilt, solltest Du kommen auf
>
> [mm]|z|<|z+1| \gdw Re(z)>-1/2[/mm].
>
>
>
>
> > > Gruß leduart
> >
>
Ah, super, ich hab's  Vielen Dank für die Hilfe!
|
|
|
|
