Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Mi 26.04.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen
a)
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{k!}x^{k}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k \wurzel[]{k+1}}x^{k}
[/mm]
c)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \bruch{2^{k}}{k}(x-1)^{k} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie den maximalen Konvergenzbereich nachstehender Potenzreihen
a) [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{x^{k}}{2^{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty}k!x^{k}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(x-2)^{k}}{k^{2}} [/mm] |
Hallo zusammen!
Könnte mir jemand sagen ob ich alles richtig gemacht habe, bzw. mir weiterhelfen?
1a) r = [mm] \infty
[/mm]
1b) Hier bin ich durch Umformen zu dem Ausdruck
r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{ \wurzel[]{k+1} \wurzel[]{k+2}}{k}
[/mm]
gekommen.
Nun hab ich beide Seiten der Gleichung quadriert um die Wurzeln wegzubekommen. Darf man das an dieser Stelle tun?
Wenn ich weiterrechne erhalte ich zum Schluß
Aus [mm] r^{2} [/mm] = 1 folgt r=1
1c) r = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
2a) Kmax = (-2, 2]
2b) Kmax = 0
2c) Zunächst erhalte ich den Konvergenzbereich (-1, 1).
Auch für 1 konvergiert die Reihe, also (-1, 1].
Nun setzte ich -1 ein:
Dann erhalte ich folgende Reihe:
-3 + [mm] \bruch{9}{4} [/mm] - [mm] \bruch{27}{9} [/mm] + [mm] \bruch{81}{16} [/mm] - [mm] \bruch{243}{25} [/mm] usw. Die Begründung lautet hier: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \not=0
[/mm]
und deshlab divergent.
Gruß heine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Do 27.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Vielen Dank!
Deine Hinweise haben mir sehr geholfen.
Gruß heine
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Hallo heine,
> 2a) Kmax = (-2, 2]
Wenn ich 2 einsetze erhalte ich [mm] \summe_{i=1}^{\infnty}1 [/mm] also eine divergente Reihe.
> 2b) Kmax = 0
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> 2c) Zunächst erhalte ich den Konvergenzbereich (-1, 1).
Hier mußt Du noch die Verschiebung um 2 beachten. Setze mal 0 ein dann divergiert die Reihe auch.
> Auch für 1 konvergiert die Reihe
Das ist richtig, für 1 ist die Reihe konvergent.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 27.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Danke für deine Hilfe!
Habe deine Hinweise befolgt und nun folgende Ergebnisse errechnet:
a)
Konvergenzbereich |x|<2 bzw. (-2, 2)
c)
Konvergenzbereich [1, 3]
Kannst du mir das bestätigen?
Gruß heine
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Hallo heine,
> Kannst du mir das bestätigen?
Das sollte stimmen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Fr 28.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Danke für deine Hilfe!
Gruß heine
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein, das darfst Du nicht; denn dadurch veränderst Du ja den Wert dieses Terms.
