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| Aufgabe | Man bestimme die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
a)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{k!}{3 * 5 * ... * (2k+1)}*z^{k}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k}\bruch{1}{2^{k+1}}*z^{k}
[/mm]
|
Kann mal jmd drüber schauen ob alles korrekt ist?
1a)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{k!}{3 * 5 * ... * (2k+1)}*z^{k}
[/mm]
Sei [mm] a_{k} [/mm] := [mm] \bruch{k!}{3 * 5 * ... * (2k+1)}
[/mm]
Dann ist Konvergenzradius:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] |
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)!}{3 * 5 * ... * (2k+1)*(2k+3)} [/mm] * [mm] \bruch{3 * 5 * ... * (2k+1)}{k!}
[/mm]
Kürzen:
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)}{2k+3} \to \bruch{1}{2}
[/mm]
1b)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k}\bruch{1}{2^{k+1}}*z^{k}
[/mm]
Sei [mm] a_{k} [/mm] := [mm] (-1)^{k}\bruch{1}{2^{k+1}}
[/mm]
Dann ist Konvergenzradius:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] |
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] (-1)^{k} \bruch{1}{2^{(k+1)+1}} [/mm] * [mm] \bruch{2^{k+1}}{(-1)^{k}} [/mm] |
(-1)^(k+1) & [mm] (-1)^{k} [/mm] können wegen Betrag weggelassen werden also:
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2^{k+1}}{2^{(k+2}} [/mm]
= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} \to \bruch{1}{2}
[/mm]
alles korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Man bestimme die Konvergenzradien der folgenden
> Potenzreihen:
>
> a)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{k!}{3 * 5 * ... * (2k+1)}*z^{k}[/mm]
>
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k}\bruch{1}{2^{k+1}}*z^{k}[/mm]
>
> Kann mal jmd drüber schauen ob alles korrekt ist?
>
> 1a)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{k!}{3 * 5 * ... * (2k+1)}*z^{k}[/mm]
>
> Sei [mm]a_{k}[/mm] := [mm]\bruch{k!}{3 * 5 * ... * (2k+1)}[/mm]
> Dann ist
> Konvergenzradius:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}[/mm] |
>
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)!}{3 * 5 * ... * (2k+1)*(2k+3)}*\bruch{3 * 5 * ... * (2k+1)}{k!}[/mm]
>
> Kürzen:
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)}{2k+3} \to \bruch{1}{2}[/mm]
Das ist fast korrekt. Zum einen kann man den letzten Grenzwert noch offensichtlich machen mittels der Umformung [mm] $\frac{k+1}{2k+3}=\frac{1+\frac{1}{k}}{2+\frac{3}{k}}$, [/mm] zum anderen müsstest Du nun noch den Kehrwert nehmen, um den Konvergenzradius zu erhalten (oder halt sofort mit [mm] $\frac{a_k}{a_{k+1}}$ [/mm] anstelle von [mm] $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ [/mm] arbeiten, vgl. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe).
> 1b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} ((-1)^{k}\bruch{1}{2^{k+1}}*z^{k}[/mm]
>
> Sei [mm]a_{k}[/mm] := [mm](-1)^{k}\bruch{1}{2^{k+1}}[/mm]
> Dann ist Konvergenzradius:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}[/mm] |
>
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] | [mm](-1)^{k\red{+1}} \bruch{1}{2^{(k+1)+1}}[/mm]
> * [mm]\bruch{2^{k+1}}{(-1)^{k}}[/mm] |
>
> (-1)^(k+1) & [mm](-1)^{k}[/mm] können wegen Betrag weggelassen
> werden
Naja, sicherlich kannst Du dies mit [mm] $\left|(-1)^{k+1}*\frac{1}{(-1)^k}\right|=|(-1)^{k+1}|*\left|\frac{1}{(-1)^k}\right|=1$ [/mm] begründen, aber noch einfacher ist es mit [mm] $\left|\frac{(-1)^{k+1}}{(-1)^k}\right|=|-1|=1$. [/mm] Aber das ist nur eine Sache der Ästhetik...
> also:
>
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2^{k+1}}{2^{k+2}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{2} \to \bruch{1}{2}[/mm]
>
>
> alles korrekt?
Der gleiche Einwand wie oben, wenn Du meinst, dass letzteres der Konvergenzradius sei. Du hast so halt jeweils den Kehrwert des Konvergenzradius berechnet: Bei Deiner Rechnung musst Du also schlussendlich noch den Kehrwert bilden. Aber sonst ist alles korrekt 
Edit:
Eine weitere Formsache:
Entweder solltest Du oben:
[mm] $\lim_{k \to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=...=\frac{1}{2}$ [/mm] schreiben, oder aber:
[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \to \frac{1}{2}$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$
[/mm]
Du hast diese beiden Notation "vermischt", was man strenggenommen noch nicht mal als falsch ansehen könnte, weil konstante Folgen gegen den konstanten Wert konvergieren.
(Und oben steht quasi nichts anderes als [mm] $\lim_{k \to \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}$, [/mm] und die Folge [mm] $\left(\frac{1}{2}\right)_{m \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $\frac{1}{2}$, [/mm] da steht also eigentlich nichts falsches.)
Nichtsdestotrotz würde ich das bei einer Korrektur Deiner Lösung bemängeln, da das darauf hindeutet, dass Dir die Notationen nicht ganz klar sind (ich hoffe aber mal, es war eher ein Flüchtigkeitsfehler Deinerseits).
Gruß,
Marcel
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