Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:
[mm] (i)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{3n}}{5+(-1)^n)^{2n}}
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n
[/mm]
Untersuchen Sie bei (i) auch das Konvergenzverhalten auf dem Rand. |
Hallo,
ich habe die Aufgaben gelöst und wollte fragen, ob jemand drüber schauen kann.
zu (i)
Mit dem Wurzelkriterium habe ich:
[mm] |\bruch{x^3}{25+10(-1)^n+1}|
[/mm]
Fall 1 n gerade
[mm] |\bruch{x^3}{25+10(-1)^{2n}+1}|=\bruch{x^3}{25+10+1}=\bruch{x^3}{36}<1
[/mm]
[mm] x^3<36
[/mm]
[mm] x^3<\wurzel[3]{36} [/mm] dann konv. die Reihe absolut
für > div.
2 Fall n ungerade:
[mm] \bruch{|x^3|}{16}<1
[/mm]
[mm] x^3<\wurzel[3]{16} [/mm] dann konv. die Reihe absolut
für > div.
dass Verhalten am Rand habe ich noch nicht gemacht (muss noch etwas nachlesen, weil ich nicht weiß wie das FUnktioniert.
bei der (ii) habe ich
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n [/mm] = [mm] \bruch{2n!}{n!(2n!-n!)}=\bruch{2n!}{(n!)^2}
[/mm]
[mm] |\bruch{2n!(2n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*2n!}*x|
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+1}{n^2+2n+1}x
[/mm]
klammern wir [mm] n^2 [/mm] aus strebt das ganze gegen 0 für n-> [mm] \infty
[/mm]
die Reihe konvergiert somit für jedes [mm] x\in \IR [/mm] absolut und der Konvergenzradius ist unendlich.
ich bedanke mich im voraus
Lg Melisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 08.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Du musst mehr aufpassen mit Klammern setzen.
Es gilt:
[mm] $$\vektor{2n\\n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!}{n!*(2n-n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!}{(n!)^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
der Rest stimmt aber oder?
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Di 08.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
Nein, der Rest stimmt natürlich nicht, da Du ja mit einem falschen Term gerechnet hast.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
bevor ich wieder irgend etwas falsch mache, frage ich lieber am anfang.
Ist das jetzt so richtig aufgeschrieben:
[mm] \bruch{(2(n+1))!*(n!)^2}{((n+1)!)^2*(2n)!}=\bruch{2*(n!)^2}{(n+1)!*(2n)!}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Di 08.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melisa!
> Ist das jetzt so richtig aufgeschrieben:
>
> [mm]\bruch{(2(n+1))!*(n!)^2}{((n+1)!)^2*(2n)!}=\bruch{2*(n!)^2}{(n+1)!*(2n)!}[/mm]
Links vom Gleichheitszeichen ist alles okay. Aber dahinter stimmt es nicht mehr.
[mm] $$\bruch{[2*(n+1)]!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n+2)!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}{[n!*(n+1)]^2*(2n)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2n)!*(2n+1)*2*(n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*(2n)!} [/mm] \ = \ ...$$
Nun kürzen und zusammenfassen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
>
> [mm]\bruch{[2*(n+1)]!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n+2)!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}{[n!*(n+1)]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*2*(n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*(2n)!} \ = \ ...[/mm]
>
> Nun kürzen und zusammenfassen ...
>
[mm] \bruch{4n+2}{(n+1)}????
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> >
> > [mm]\bruch{[2*(n+1)]!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n+2)!*(n!)^2}{[(n+1)!]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)*(n!)^2}{[n!*(n+1)]^2*(2n)!} \ = \ \bruch{(2n)!*(2n+1)*2*(n+1)*(n!)^2}{(n!)^2*(n+1)^2*(2n)!} \ = \ ...[/mm]
>
> >
> > Nun kürzen und zusammenfassen ...
> >
>
> [mm]\bruch{4n+2}{(n+1)}????[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und was treibt das für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
> > >
> >
> > [mm]\bruch{4n+2}{(n+1)}????[/mm]
>
> Und was treibt das für [mm]n\to\infty[/mm]
>
sie strebt gegen 4 also ist der radius 1/4???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> > > >
> > >
> > > [mm]\bruch{4n+2}{(n+1)}????[/mm]
> >
> > Und was treibt das für [mm]n\to\infty[/mm]
> >
>
> sie strebt gegen 4 also ist der radius 1/4???
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Melisa,
> Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:
>
> [mm](i)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{3n}}{5+(-1)^n)^{2n}}[/mm]
>
> (ii) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{2n \\ n} x^n[/mm]
>
> Untersuchen Sie bei (i) auch das Konvergenzverhalten auf
> dem Rand.
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgaben gelöst und wollte fragen, ob jemand
> drüber schauen kann.
>
> zu (i)
>
> Mit dem Wurzelkriterium habe ich:
>
> [mm]|\bruch{x^3}{25+10(-1)^n+1}|[/mm]
>
> Fall 1 n gerade
>
>
> [mm]|\bruch{x^3}{25+10(-1)^{2n}+1}|=\bruch{x^3}{25+10+1}=\bruch{x^3}{36}<1[/mm]
>
> [mm]x^3<36[/mm]
>
> [mm]x^3<\wurzel[3]{36}[/mm] dann konv. die Reihe absolut
>
> für > div.
>
> 2 Fall n ungerade:
>
>
> [mm]\bruch{|x^3|}{16}<1[/mm]
>
> [mm]x^3<\wurzel[3]{16}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dann konv. die Reihe absolut
>
> für > div.
>
>
> dass Verhalten am Rand habe ich noch nicht gemacht (muss
> noch etwas nachlesen, weil ich nicht weiß wie das
> FUnktioniert.
>
Hmm, schaue dir mal das Kriterium von Cauchy-Hadamard an.
Du musst doch (auch mit dem WK) den $\lim\red{sup}$ bestimmen!
Also nach WK: $\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{x^{3n}}{\left(5+(-1)^n\right)^{2n}}\right|}$
$=\left|x^3\right|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{\left(5+(-1)^n\right)^2}$
Und das ist $=\ldots$
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
>
> Also nach WK:
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{x^{3n}}{\left(5+(-1)^n\right)^{2n}}\right|}[/mm]
>
> [mm]=\left|x^3\right|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{\left(5+(-1)^n\right)^2}[/mm]
>
> Und das ist [mm]=\ldots[/mm]
>
lim sup [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
????
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> >
> > Also nach WK:
> >
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left|\frac{x^{3n}}{\left(5+(-1)^n\right)^{2n}}\right|}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\left|x^3\right|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}{\frac{1}{\left(5+(-1)^n\right)^2}[/mm]
> >
> > Und das ist [mm]=\ldots[/mm]
> >
>
>
> lim sup [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
Und daher nach WK absolute Konvergenz für [mm] $|x|^3\cdot{}\frac{1}{16}<1$, [/mm] also ...
Und Divergenz für [mm] $|x|^3>16$
[/mm]
Für die Untersuchung der Randpunkte setze dann selbige in die Reihe ein und untersuche mit den stadtbekannten Kriterien für "normale" Reihen
Gruß
schachuzipus
>
>
> ????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
>
> Und daher nach WK absolute Konvergenz für
> [mm]|x|^3\cdot{}\frac{1}{16}<1[/mm], also ...
>
x< [mm] \wurzel[3]{16}
[/mm]
oder?
>
> Für die Untersuchung der Randpunkte setze dann selbige in
> die Reihe ein und untersuche mit den stadtbekannten
> Kriterien für "normale" Reihen
muss ich jetzt dritte wurzel aus 16 für x einsetzen?
Und war das mit der Fallunterscheidung falsch? Also muss ich nur das mit 1/16 betrachten?
sry für die banalen Fragen, aber ich habe es in der Vorlesung überhaupt nicht verstanden.
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> >
> > Und daher nach WK absolute Konvergenz für
> > [mm]|x|^3\cdot{}\frac{1}{16}<1[/mm], also ...
> >
>
>
> x< [mm]\wurzel[3]{16}[/mm]
Besser: absolute Konvergenz für [mm] $\red{|}x\red{|}<\sqrt[3]{16}$
[/mm]
> oder?
>
> >
> > Für die Untersuchung der Randpunkte setze dann selbige in
> > die Reihe ein und untersuche mit den stadtbekannten
> > Kriterien für "normale" Reihen
>
>
> muss ich jetzt dritte wurzel aus 16 für x einsetzen?
Ja, und auch den anderen Randpunkt [mm] $x=-\sqrt[3]{16}$
[/mm]
>
> Und war das mit der Fallunterscheidung falsch?
Die Fallunterscheidung ist doch sehr hilfreich, es gibt ja nur 2 Häufungswerte, du musst den größten [mm] (\limsup) [/mm] rauspicken ...
> Also muss ich nur das mit 1/16 betrachten?
Ja, das ist der größere (größte) der beiden Häufungswerte ...
> sry für die banalen Fragen, aber ich habe es in der
> Vorlesung überhaupt nicht verstanden.
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe jetzt für das Randverhalten:
[mm] \bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}} [/mm] mit dem WK [mm] =\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1
[/mm]
für [mm] -\wurzel[3]{16} [/mm] bekommen wir analog -1 raus
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> ich habe jetzt für das Randverhalten:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}}[/mm]
> mit dem WK [mm]=\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1[/mm]
Das ist doof, denn in diesem Falle liefert das WK keine Aussage bgl Konvergenz oder Divergenz.
Da musst du also anders anpacken ...
Wie sieht es mit dem Tricialkriterium aus?
Ich habe es nicht gerechnet, aber auf einen schnellen Blick scheint es verletzt zu sein ...
>
> für [mm]-\wurzel[3]{16}[/mm] bekommen wir analog -1 raus
Ach, das kann doch gar nicht sein, du musst doch die n-te Wurzel des Betrages untersuchen ...
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:26 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
das TK sagt doch aus, dass wenn due Sznnabdeb der Reihe nicht gegen null konv. kann die reihe selbst nicht konv.
für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt (da die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv. sein kann.
für - dritte wurzel aus 16 komme ich nicht weiter. Ich muss ja die n-te wurzel ziehen und bei negativen Zahlen geht das nicht.
Lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> das TK sagt doch aus, dass wenn due Sznnabdeb der Reihe
> nicht gegen null konv. kann die reihe selbst nicht konv.
Aha, das ist mir neu, die Definition einer Sznnabdeb einer Reihe kenne ich nicht ...
Was an meiner mangelnden Bildung liegen mag ...
>
> für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt
> (da die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv.
> sein kann.
Tut sie das?
Beweis?
>
> für - dritte wurzel aus 16 komme ich nicht weiter. Ich
> muss ja die n-te wurzel ziehen und bei negativen Zahlen
> geht das nicht.
Ich hatte doch schon gesagt, dass man beim WK die Beträge untersucht, das liefert also auch 1 als GW (wenn 1 bei [mm] $x=+\sqrt[3]{16}$ [/mm] denn der richtige DW war)
> Lg
Zeige mal etwas Rechnung her, an der man was sehen und korrigieren kann, nicht bloß Prosa ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 08.06.2010 | | Autor: | melisa1 |
> Aha, das ist mir neu, die Definition einer Sznnabdeb einer
> Reihe kenne ich nicht ...
>
> Was an meiner mangelnden Bildung liegen mag ...
hahaha sry ich meinte "natürlich" Summanden :D
> >
> > für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt
> > (da die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv.
> > sein kann.
>
> Tut sie das?
>
> Beweis?
[mm] \bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}} =\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1 [/mm]
oder nicht ???
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Aha, das ist mir neu, die Definition einer Sznnabdeb einer
> > Reihe kenne ich nicht ...
> >
> > Was an meiner mangelnden Bildung liegen mag ...
>
> hahaha sry ich meinte "natürlich" Summanden :D
> > >
> > > für die dritte wurzel aus 16 hätten wir ja somit gezeigt
> > > (da die Folge gegen 1 konv.), dass die reihe nicht konv.
> > > sein kann.
> >
> > Tut sie das?
> >
> > Beweis?
>
> [mm]\bruch{(\wurzel[3]{16})^3}{(5+(-1)^n)^{2n}}=\bruch{16^n}{(5+(-1)^n)^{2n}} =\bruch{16}{(5+(-1)^n)^2}=\bruch{16}{16}=1[/mm]
Was ist denn das ?? Alle (!) Gleichheitszeichen sind falsch ! Nach dem 1. "=" wird aus 16 plötzlich [mm] 16^n [/mm] ???
Nach dem 2. "=" fehlt in Zähler und Nenner der Exponent n. ???
Für gerades n ist [mm] 6=5+(-1)^n \ne [/mm] 4 !!!
FRED
>
> oder nicht ???
>
>
> Lg
>
|
|
|
|
