Konvergenzradien von Potenzre < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(a) [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{k!}{2^{k^{2}}} x^{k}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^{5}5^{k}x^{k}
[/mm]
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Hi,
ich habe das mal kurz durchgerechnet, bin mir aber wie so oft nicht sicher ob das so korrekt ist. Wenn ich einen Fehler reingebaut habe laut schreihen.
Und in dem Fall wäre ich natürlich für einen Tip dankbar wie ich's besser machen kann.
a) [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{k!}{2^{k^{2}}} x^{k}
[/mm]
Konvergenzradius:
r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left | \bruch{a_{k}}{a_{k + 1}} \right| [/mm] , [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{2^{k^{2}}}
[/mm]
r = [mm] \bruch{\left(\bruch{k!}{2^{k^{2}}}\right)}{\left(\bruch{(k + 1)!}{2^{(k + 1)^{2}}}\right)} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{2^{k^{2}}}*\bruch{2^{(k + 1)^{2}}}{(k + 1)!}= \bruch{k!}{2^{k^{2}}}*\bruch{2^{(k + 1)^{2}}}{k!*(k + 1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2^{k^{2}}}*\bruch{2^{(k + 1)^{2}}}{(k + 1)} [/mm] = [mm] \left( \bruch{2^{k + 1}}{2^{k}}\right)^{2}*\bruch{1}{(k + 1)} [/mm] = [mm] \left(\bruch{2^{k}*2}{2^{k}}\right)^{2}*\bruch{1}{k + 1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{k + 1}
[/mm]
= 0 für k gegen unendlich.
Konvergiert nur für x = 0.
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^{5}5^{k}x^{k} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel[k]{a^{k}}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel[k]{k^{5}}*\wurzel[k]{k^{5}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\left(k^{5} \right)^\bruch{1}{k}*5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] für k gegen unendlich.
Mfg und vielen Danke schonmal
Dally
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dally!
Aufgabe a.)
> r = [mm]\bruch{1}{2^{k^{2}}}*\bruch{2^{(k + 1)^{2}}}{(k + 1)}[/mm]
Bis hierher stimmt's, dann wendest Du ein vermeintliches  Potenzgesetz falsch an.
[mm] $2^{k^2} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \left( \ 2^k \ \right)^2$
[/mm]
Diese Zweierpotenzen musst Du folgendermaßen zusammenfassen:
[mm] $\bruch{2^{(k+1)^2}}{2^{k^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^{k^2+2k+1}}{2^{k^2}} [/mm] \ = \ [mm] 2^{k^2+2k+1-k^2} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2k+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dally!
Aufgabe b.)
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[k]{k^{5}}*\wurzel[k]{k^{5}}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\left(k^{5} \right)^\bruch{1}{k}*5}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] für k gegen unendlich.
Abgesehen von dem kleinen Tippfehler im ersten Bruch [mm] $\bruch{1}{\wurzel[k]{k^5}*\wurzel[k]{\red{5^k}}}$ [/mm] stimmt es .
Nun musst Du allerdings noch die beiden Ränder [mm] $r_1 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{5}$ [/mm] sowie [mm] $r_2 [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{5}$ [/mm] noch separat betrachten, da für $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ r$ zunächst keine Aussage zur Konvergenz möglich ist.
Gruß
Loddar
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