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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:09 Di 19.09.2017 | | Autor: | Paivren |
N'abend,
kann mal kurz wer verifizieren, dass der Konvergenzradius nach Hadamard [mm] r=\bruch{1}{limsup |a_{n}|^{\bruch{1}{n}}} [/mm] gleich 4 ist, für die um z=0 entwickelte Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{z}{2})^{2(k+1)}
[/mm]
Wolfram Alpha zeigt Konvergenz für |z|<2 an, deswegen bin ich etwas unsicher.
mfG.
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> N'abend,
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> kann mal kurz wer verifizieren, dass der Konvergenzradius
> nach Hadamard [mm]r=\bruch{1}{limsup |a_{n}|^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
> gleich 4 ist, für die um z=0 entwickelte Reihe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{z}{2})^{2(k+1)}[/mm]
>
> Wolfram Alpha zeigt Konvergenz für |z|<2 an, deswegen bin
> ich etwas unsicher.
Moin,
ich denke, daß Du gezeigt hast, daß die Reihe für [mm] |z^2|<4 [/mm] konvergiert.
LG Angela
>
> mfG.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 19.09.2017 | | Autor: | Paivren |
Hallo Angela,
aber das verstehe ich nicht :(
Die Koeffizienten meiner Reihe sind doch gerade gegeben durch [mm] a_{n}=(-1)^{n}(\bruch{1}{2})^{2(n+1)}
[/mm]
Aber das sind anscheinend nicht die Koeffizienten der äquivalenten Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}b_{n}z^{n}
[/mm]
Wie erkenne ich, was die [mm] b_{n} [/mm] in meiner Reihe sind?
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Hallo,
Du kannst es Dir so überlegen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{z}{2})^{2(k+1)} [/mm]
[mm] =(\bruch{z}{2})^2*\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{1}{2})^{2k}*z^{2k}
[/mm]
[mm] =(\bruch{z}{2})^2*\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{1}{2})^{2k}*z^{2k}
[/mm]
[mm] =(\bruch{z}{2})^2*\summe_{n=1}^{\infty}a_nz^n
[/mm]
mit [mm]a_n=\begin{cases} 0, & \textrm{für } n \textrm{ ungerade} \\ (-1]^{\bruch{n}{2}}*(\bruch{1}{2})^n, & \textrm{für } n \textrm{ gerade} \end{cases}[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Di 19.09.2017 | | Autor: | Paivren |
Hallo Angela, vielen Dank.
Ich vergaß, dass man z in dieser Form vor die Reihe ziehen darf, es geht ja nur um die Konvergenz der übrig bleibenden Reihe.
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