Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Man bestimme den Konvergenzradius von [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{n^{n}}{n!}x^{n} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Es sei [mm] a_{n} [/mm] eine monoton fallende gegen Null konvergierende Folge. Man beweise, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}a_{n} [/mm] genau dann konvergiert, wenn die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}2^{k}a_{2^{k}} [/mm] zutrifft. |
Guten Morgen allerseits,
Zur ersten Aufgabe habe ich folgende Frage: wir haben in der Vorlesung nie besprochen, wie man den Konvergenzradius einer Reihe bestimmt. Wie bekomme ich ihn trotzdem raus? Ich habe es über das Quotientenkriterium versucht, aber so komme ich nicht wirklich weiter. Habe ich einem Buch gefunden, dass man den Konvergenzradius wie folgt ausrechnen kann:
R=1/q wobei q= [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
Damit komme ich auf einen Konvergenzradius <1, was eigentlich auch einsichtig ist denn:
Eine Reihe konvergiert, wenn [mm] a_{n} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist. Und bei x=1 steht unter der Summe ja nur noch [mm] \bruch{n^{n}}{n!} [/mm] und das ist sicher keine Nullfolge, oder irre ich mich jetzt vollkommen?
Zur zweiten Aufgabe habe ich nur einen Ansatz für die Hinrichtung
Ich versuche, die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{ \infty}a_{n} [/mm] als Majorante zu nehmen.
Ausgeschrieben sieht sie ja so aus: [mm] a_{0}+a_{1}+....
[/mm]
Die zweite so: [mm] a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+...
[/mm]
So jetzt weiß ich:
[mm] a_{0} \ge a_{1}
[/mm]
[mm] a_{1}+a_{2} \ge 2a_{2}
[/mm]
Ich möchte versuchen, dass links vom kleiner Zeichen die Reihe Summe über [mm] a_{n} [/mm] steht und zwar so, dass beim Aufsummieren aller Ungleichungen diese zu einer konvergenten Majorante wird. Leider gelingt mir diese Darstelluung bereits bei [mm] 4a_{4} [/mm] nicht mehr.
Ist das überhaupt eine Idee, die zum Ziel führt? Bei der Rückrichtung habe ich noch keinen Ansatz gefunden. Wieder über konvergente Majorante dürfte ja nicht funktionieren....also brauche ich eine zweite konvergente Reihe....aber wie bekomme ich die.
Viele Grüße
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Fr 17.02.2006 | | Autor: | Mathe_Alex |
Also Aufgabe 1 hat sich nahezu geklärt. Habe eben in Büchern gesucht und etwas sehr ergiebiges gefunden. :)
Ich nehme mir die Folgen der Partialsummen. Diese sind monoton wachsend. Wenn ich jetzt zeigen kann, dass beide Folgen beschränkt sind, bin ich fertig, denn: eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist. Dann sieht der Ansatz sehr ähnlich aus, wie meiner, nur dass er zum Ziel führt, zumindest für die eine Richtung.
Die Rückrichtung schaffe ich hoffentlich auch noch.
Meine zweite Frage ist aber weiterhin offen.
Viele Grüße
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mo 20.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Alex!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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