Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Geben Sie das maximale r an, sodass [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_n*x^n$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] (-r, r)$ konvergiert.
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] n^3 [/mm]
b) [mm] a_n [/mm] = n! |
Hallo.
Also bei der ersten Aufgabe dachte ich mir so, ich zeige Monotonie und Beschränktheit (dass es überhaupt konvergiert)
[mm] a_0 [/mm] = 0
[mm] a_1 [/mm] =1
Induktion für n=0
[mm] $a_{n+1}> a_n$
[/mm]
1>0
IS [mm] n\ightarrow [/mm] n+1
[mm] $a_{n+2}>a_{n+1}$
[/mm]
[mm] $(n+2)^3 [/mm] > [mm] (n+1)^3$
[/mm]
Nach dem Potenzgesetzen ist das [mm] $x^p [/mm] > [mm] y^p \gdw [/mm] x > p$
n+2 > n+1
Stimmt.
Dann habe ich gezeigt, dass es nach unten beschränkt ist
[mm] a_0 \ge [/mm] 0
stimmt
[mm] n\rightarrow [/mm] n+1
[mm] $a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n$
[/mm]
[mm] $a_n= (n+1)^3 [/mm] > [mm] n^3 [/mm] = [mm] a_n [/mm] = 0$
Folge konvergiert also.
Das hat mich allerdings nicht zufriedengestellt und ich habe die Summe mal geschrieben als
[mm] 0^4*x^0 [/mm] + [mm] ^4*x^1+2^4x^2+3^4*x^3+4^4*x^4 [/mm] + ...
daran sieht man schon, damit das konvergiert, muss das maximale r < 1 sein.
Also würde ich sagen [mm] x\in [/mm] (−1, 1)
Aber für b würde ich auch die Reihe aufstellen.
Dann käme ich aber auf
[mm] 1+x+4x^2+6x^3+24x^4
[/mm]
für x>1 oder gleich 1 läuft das ganze gegen unendlich. für kleinere zahlen als eins aber nicht.
Nur mathematisch zeigen - wie solll man das anstellen??
Bitte um detaillierte Informationen.
Grüße
Phoney
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Hallo Phoney,
> Geben Sie das maximale r an, sodass
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}a_n*x^n[/mm] für alle [mm]x \in (-r, r)[/mm]
> konvergiert.
> a) [mm]a_n[/mm] = [mm]n^3[/mm]
> b) [mm]a_n[/mm] = n!
> Hallo.
>
> Also bei der ersten Aufgabe dachte ich mir so, ich zeige
> Monotonie und Beschränktheit (dass es überhaupt
> konvergiert)
>
> [mm]a_0[/mm] = 0
> [mm]a_1[/mm] =1
>
> Induktion für n=0
>
> [mm]a_{n+1}> a_n[/mm]
> 1>0
>
> IS [mm]n\ightarrow[/mm] n+1
>
> [mm]a_{n+2}>a_{n+1}[/mm]
>
> [mm](n+2)^3 > (n+1)^3[/mm]
>
> Nach dem Potenzgesetzen ist das [mm]x^p > y^p \gdw x > p[/mm]
>
> n+2 > n+1
>
> Stimmt.
>
> Dann habe ich gezeigt, dass es nach unten beschränkt ist
>
> [mm]a_0 \ge[/mm] 0
>
> stimmt
>
> [mm]n\rightarrow[/mm] n+1
>
> [mm]a_{n+1} > a_n[/mm]
>
> [mm]a_n= (n+1)^3 > n^3 = a_n = 0[/mm]
>
> Folge konvergiert also.
>
> Das hat mich allerdings nicht zufriedengestellt und ich
> habe die Summe mal geschrieben als
>
> [mm]0^4*x^0[/mm] + [mm]^4*x^1+2^4x^2+3^4*x^3+4^4*x^4[/mm] + ...
>
> daran sieht man schon, damit das konvergiert, muss das
> maximale r < 1 sein.
>
> Also würde ich sagen [mm]x\in[/mm] (−1, 1)
>
> Aber für b würde ich auch die Reihe aufstellen.
>
> Dann käme ich aber auf
> [mm]1+x+4x^2+6x^3+24x^4[/mm]
>
> für x>1 oder gleich 1 läuft das ganze gegen unendlich. für
> kleinere zahlen als eins aber nicht.
>
> Nur mathematisch zeigen - wie solll man das anstellen??
Nimms mir nicht übel, aber warum gehst du das ganze nicht einfach systematisch an?  Ihr hattet doch bestimmt schon eine Formel für konvergenzradien, und wenn nicht, wende doch das quotientenkriterium an.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
vielen Dank.
Also bezüglich des Quotientenkriteriums habe ich die Formel gefunden
[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \br{|a_{n+1}(x-x_0)^{n+1}|}{|a_{n}(x-x_0)^{n}|} =\lim_{n\rightarrow \infty} |\br{a_{n+1}}{a_{n}}|*|(x-x_0)| [/mm] $
Dann dahinter noch mit <1 oder >1
Ich habe hier keine Idee, wie ich mit dem [mm] x_0 [/mm] umgehen soll. Kann ich einfach sagen, [mm] x_0 [/mm] ist gleich 0?
und dann bilde ich den Quotienten und suche ein x, für das die Ungleichung <1 erfüllt ist?
Ne, kann doch nicht sein?
Gruß
Phoney
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Hallo,
also nehmen wir mal das Beispiel a. Wie sieht das mit dem Quotientenkriterium aus? Was du dort als Quotientenkriterium angibst, finde ich merkwürdig. Ich kenne das in dieser Version:
Gegeben sei die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}. [/mm] Diese konvergiert, wenn
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=q<1[/mm].
Du musst also nur einsetzen und das nachrechnen. Den Konvergenzradius kriegen wir dann mit Kriterium von Euler. Dazu später.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^{3}*x^{n} [/mm] Dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)^{3}}{n^{3}}|
[/mm]
=1
(ausklammern, Nullfolgen!)
Ob die Reihe konvergiert oder nicht, lässt sich nicht genau mit dem Quotientenkriterium sagen, weil der Grenzwert genau 1 ist. Was ist aber mit der Potenzreihe? Schau mal nach, was das Kriterium von Euler für Potenzreihen besagt.Wie musst du dann deine r's wählen?
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Bezüglich dem Kriterium von Euler.
Das ist doch: [mm] \lim_{n \to \infty}a_n [/mm] = 0.
Das stimmt für [mm] n^3 [/mm] aber gar nicht?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mi 27.12.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Johann,
> Bezüglich dem Kriterium von Euler.
>
> Das ist doch: [mm]\lim_{n \to \infty}a_n[/mm] = 0.
>
> Das stimmt für [mm]n^3[/mm] aber gar nicht?!
damit [mm] $\sum a_n x^n$ [/mm] fuer $x [mm] \in [/mm] (-t, t)$ konvergiert, muss fuer jedes solche $x$ die Reihe [mm] $\sum (a_n x^n)$ [/mm] konvergieren, also muss nach Euler insb. [mm] $\lim (a_n x^n) [/mm] = 0$ sein.
Wenn du zum Beispiel die Potenzreihe [mm] $\sum a_n x^n$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = 1$ betrachtest, so konvergiert diese fuer $x [mm] \in [/mm] (-1, 1)$ (und ist dort gleich der Funktion [mm] $\frac{1}{1 - x}$), [/mm] obwohl [mm] $\lim a_n [/mm] = 1$ ist. Jedoch ist [mm] $\lim a_n x^n [/mm] = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] (-1, 1)$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Geben Sie das maximale r an, sodass [mm] \sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] (-r,r) konvergiert
[mm] a_n [/mm] =n! |
Hallo.
Wie würde das denn hier gehen? Nach dem Quotientenkriterium:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] $
$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)!}{n!}| [/mm] $
[mm] $=\infty$
[/mm]
Das heißt ja, dass der Konvergenzradius Null sein muss. Nur wie begründen? Und wie die Konvergenz der Reihe zeigen? :(
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoney!
Diese Reihe ist also für alle $x_$-Werte (mit Ausnahme des Trivial-Falles $x \ = \ 0$) divergent.
Denn mit dem Quotientenkriterium, welches gegen [mm] $\infty$ [/mm] strebt (und damit unwesentlich größer als 1 ist), hast Du ja die Divergenz dieser Reihe bereits gezeigt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Wo finde ich denn etwas über das von Dir erwähnte Euler-Kriterium? Ich bin da leider ziemlich unfündig (und unwissend ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ).
Gruß
Loddar
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Hallo Thorsten,
das Euler-Kriterium (nach Königsberger, Analysis I, 6. Auflage, S. 75)
besagt, dass man den Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen kann nach [mm] R=\bruch{1}{q} [/mm] mit [mm] $q=\lim\left|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$, [/mm] falls der Grenzwert existiert.
Dieses q kommt dabei vom Quotientenkriterium für Reihen. Der Beweis steht da auch, kannst du ja nachlesen. Dieses ist ähnlich dem Kriterium von Cauchy-Hadamard für das Wurzelkriterium.
Schöne Weihnachten,
Grüße
Daniel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Geben Sie das maximale r an, sodass $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}x^n [/mm] $ für alle $ x [mm] \in [/mm] (-r, r) $ konvergiert.
a) $ [mm] a_n [/mm] $ = $ [mm] n^3 [/mm] $
b) $ [mm] a_n [/mm] $ = n! |
Hallo.
Wie genau soll das gehen? Also ich finde dazu lediglich
a) [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \wurzel[n]{n^3} [/mm] = 1$.
So, nun ist der maximale Konvergenzradius 1. Und für minus unendlich habe ich auch 1 heraus.
Die Lösung muss aber wohl sein [mm] $x\in(-1,1)$ [/mm] ?
Das ist einfach so, weil die Formel mir das doch schon sagt: $ x [mm] \in [/mm] (-r, r) $ Und r war 1, also -1 und +1. Richtig?
b) $ [mm] a_n [/mm] $ = n!
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] +\infty$. [/mm] Daraus folgt, [mm] $x\in(-0,0)$
[/mm]
Die Schreibweise sieht komisch aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoney!
> Wie genau soll das gehen? Also ich finde dazu lediglich
>
> a) [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} \wurzel[n]{n^3} = 1[/mm].
>
> So, nun ist der maximale Konvergenzradius 1. Und für minus
> unendlich habe ich auch 1 heraus.
Das ist die falsche Idee ... Für den Grenzwert können wir nur und ausschließlich [mm] $n\rightarrow\red{+}\infty$ [/mm] betrachten: schließlich ist $n_$ aus der Menge der natürlichen Zahlen [mm] $\IN$ [/mm] .
Aber der Konvergenzradius $r_$ ist ja definiert mit den Betragsstrichen, so dass hier stets ein Intervall mit $(-r; \ +r)$ entsteht:
$r \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\red{\left|} [/mm] \ [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] \ [mm] \red{\right|}$
[/mm]
> b) [mm]a_n[/mm] = n!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\wurzel[n]{n!} = +\infty[/mm]. Daraus folgt, [mm]x\in(-0,0)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie hier bereits angedeutet, gilt für den Grenzwert mit der n-ten Wurzel:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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