Konvergenzradius < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Di 02.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für jede der folgenden Reihen den Konvergenzradius.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n^{2}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(1+i)^{n-2}}{\wurzel{n!}}z^{n}
[/mm]
c) [mm] 1+\bruch{1}{2}z+\bruch{1*3}{2*4}z^{2}+\bruch{1*3*5}{2*4*6}z^{3}+..... [/mm] |
Hallo,
es ist wieder wie immer: Ich weiß, was der Konvergenzradius ist (kenne die Def.), aber ich habe noch nie einen bestimmt und weiß damit auch nicht, wie das geht. Muss ich den raten und dann beweisen oder kann man das auch alles irgendwie umformen, dass dann am Ende offensichtlich ist, was der KR ist?
Also bei der ersten ist ja R=1. Das kann ich auch beweisen. Aber da muss es doch noch eine andere Möglichkeit geben, wie ich den Konvergenzradius BESTIMMEN kann oder?
Für Antworten und insbesondere auch für Tipps zu den Aufgaben wär ich sehr dankbar!
Frohes neues Jahr noch!!!
Gruß Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 02.01.2007 | | Autor: | Disap |
Moin
> Frohes neues Jahr noch!!!
und gleichfalls.
> es ist wieder wie immer: Ich weiß, was der Konvergenzradius
> ist (kenne die Def.), aber ich habe noch nie einen bestimmt
> und weiß damit auch nicht, wie das geht. Muss ich den raten
> und dann beweisen oder kann man das auch alles irgendwie
> umformen, dass dann am Ende offensichtlich ist, was der KR
> ist?
> Also bei der ersten ist ja R=1. Das kann ich auch
> beweisen. Aber da muss es doch noch eine andere Möglichkeit
> geben, wie ich den Konvergenzradius BESTIMMEN kann oder?
Es gibt da z. B. die Formeln (R = Konvergenzradius)
$R = [mm] \frac{1}{\overline{\limes_{n \rightarrow \infty}}\wurzel[n]{|a_n|}}$ [/mm] (Formel von Cauchy Hadamard)
mit [mm] $\overline{\lim} [/mm] = lim sup$
und
$R = [mm] \frac{1}{\limes_{n \rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|} [/mm] $ (anwendbar, falls der Grenzwert existiert)
Falls du auf der Suche nach soetwas warst - aber eigentlich solltest du nur die Sachen benutzen, die bei euch in der Vorlesung schon drankamen.
MfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 02.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Servus und danke für die Antwort.
Auf diese Formeln bin ich beim googlen auch schon gestoßen. Die darf ich aber glaub ich nicht anwenden, weil wir die noch nicht besprochen haben. Wir haben lediglich die Definition des Konvergenzradius durchgenommen.
Hat vielleicht jemand trotzdem ne Idee, was ich dann da machen könnte?
Gruß Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Di 02.01.2007 | | Autor: | Elise |
Hattet ihr schon die verschiedenen tests für absolute Konvergenz??? Also Majoranten-,Quotienten- und Wurzelkriterium??? Wenn ja, kannst du die hier sicherlich anwenden, bei aufgabe a müsste das Quotientenkriterium passen. Probier auf jeden Fall mal ein bisschen mit diesen Tests rum. Hoffe du kommst zu was,
liebe grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Do 04.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Stimmt!!
Vielen Dank für den Tipp. Hab Aufgabe 1 tatsächlich mit dem Quotientenkriterium so hingetrickst, dass am Ende ersichtlich ist, dass es nur ein [mm] \theta\in[0,1) [/mm] das größer als [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] ist, geben kann, wenn |z|<1 gilt.
Also das stimmt denk ich schon mal.
Die 2te Aufgabe hab ich gleich gemacht (also auch mit dem Quotientenkriterium.
Jetzt fehlt mir nur noch die dritte Aufgabe. Ich brauch da doch erst mal eine explizite Formel, oder? Aber auf die komm ich partout nicht.
Wie in etwa könnte denn die aussehen, hat da einer ne Idee?
Vielen Dank!
Gruß Michi
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>
> Jetzt fehlt mir nur noch die dritte Aufgabe. Ich brauch da
> doch erst mal eine explizite Formel, oder? Aber auf die
> komm ich partout nicht.
> Wie in etwa könnte denn die aussehen, hat da einer ne
> Idee?
Hallo,
vielleicht so?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}z^n
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Do 04.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Hallo angela!!
Hab gerade mal deine Formel ausprobiert.
Für n=1 passt es. FÜr n=2 auch.
Aber für n=3 krieg ich heraus:
[mm] \bruch{6!}{2^{6}*(6!)^{2}}z^{3}=\bruch{1}{2^{6}*6!}z^{3}
[/mm]
Ist das noch das was wir suchen? Ich glaub eher nicht oder?
Oder hab ich mich wo verrechnet??
Vielen Dank, dass du dich (mal wieder) unserer annimmst 
Gruß Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Do 04.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Ok sorry angela, habe meinen Fehler selbst bemerkt. Im Nenner natürlich [mm] (3!)^{2}
[/mm]
Danke für die Lösung. Die ist viel komplizierter als ich dachte.
Wie bist du denn DA draufgekommen wenn ich fragen darf???
Gruß Michi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 04.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Ok habe deine Formel jetzt mal angewendet im Quotientenkriterium. Bekomme aber leider nix brauchbares dabei heraus.
Am Ende steht bei mir lediglich (Verrechnungen natürlich auch sehr wahrscheinlich):
[mm] \bruch{(2n!)*(n+1)*(n+2)}{4n^{2}}
[/mm]
Habe halt zum Beispiel (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n)!(n+1)(n+2) umgeformt.
Kann ich damit irgendwie weiterarbeiten? Oder hab ich mich verrechnet? Oder bin ich komplett aufm falschen Weg??
Danke schon mal
Gruß Michi
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>
> Am Ende steht bei mir lediglich (Verrechnungen natürlich
> auch sehr wahrscheinlich):
>
> [mm]\bruch{(2n!)*(n+1)*(n+2)}{4n^{2}}[/mm]
Das kann schon deshalb nicht sein, weil ja gar kein z mehr im Rennen ist.
>
> Habe halt zum Beispiel (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n)!(n+1)(n+2)
> umgeformt.
(2(n+1))!=(2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)
> Kann ich damit irgendwie weiterarbeiten? Oder hab ich mich
> verrechnet?
Ja.
>Oder bin ich komplett aufm falschen Weg??
Ich glaube nicht.
Ich sage Dir mal (ohne Gewähr) meinen Quotienten: [mm] \bruch{z}{2}(1+\bruch{1}{n+1})
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 04.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
Ok war wohl etwas verpeilt gerade
Jetzt haben wir ein anderes Ergebnis, aber irgendwie nicht deins :-(
Haben es aber 2x durchgerechnet und sind 2x darauf gekommen. Vielleicht kannsts ja nochmal nachprüfen (?).
Unser Quotient:
[mm] \bruch{2n^{2}+3n+1}{2n^{2}+4n+2}z \to [/mm] 1
Deiner würde ja aber gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gehen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Do 04.01.2007 | | Autor: | MichiNes |
der term geht natürlich gegen z.
ich meinte natürlich der bruch geht gegen 1. sorry, heut ist wohl nicht mein tag :-D
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> der term geht natürlich gegen z.
> ich meinte natürlich der bruch geht gegen 1. sorry, heut
> ist wohl nicht mein tag :-D
Hm. Ich zweifele daran, ob's mein Tag ist:
meine Bemerkung mit dem z scheint mir Quatsch gewesen zu sein...
EDIT: nein, doch nicht! Ihr wollt ja das Quotientenkriterium verwenden, oder?
Also für
[mm] \bruch{(2(n+1))!z^{n+1}}{2^{2(n+1)}((n+1)!)^2}\bruch{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!z^n}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)(2n+2)z}{2^2(n+1)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(2n+1)z}{2(n+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{z}{2}(1+\bruch{n}{n+1}) [/mm]
Gruß v. Angela
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> Wie bist du denn DA draufgekommen wenn ich fragen darf???
Durch draufgucken, aufschreiben, Fehler, draufgucken, aufschreiben, freuen...
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