www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1Konvergenzradius
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Analysis des R1" - Konvergenzradius
Konvergenzradius < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzradius: Allgemeine Vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Di 02.01.2007
Autor: MichiNes

Aufgabe
Bestimmen Sie für jede der folgenden Reihen den Konvergenzradius.

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n^{2}} [/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(1+i)^{n-2}}{\wurzel{n!}}z^{n} [/mm]
c) [mm] 1+\bruch{1}{2}z+\bruch{1*3}{2*4}z^{2}+\bruch{1*3*5}{2*4*6}z^{3}+..... [/mm]

Hallo,

es ist wieder wie immer: Ich weiß, was der Konvergenzradius ist (kenne die Def.), aber ich habe noch nie einen bestimmt und weiß damit auch nicht, wie das geht. Muss ich den raten und dann beweisen oder kann man das auch alles irgendwie umformen, dass dann am Ende offensichtlich ist, was der KR ist?
Also bei der ersten ist ja R=1. Das kann ich auch beweisen. Aber da muss es doch noch eine andere Möglichkeit geben, wie ich den Konvergenzradius BESTIMMEN kann oder?

Für Antworten und insbesondere auch für Tipps zu den Aufgaben wär ich sehr dankbar!
Frohes neues Jahr noch!!!

Gruß Michi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzradius: Formeln
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Di 02.01.2007
Autor: Disap

Moin

>  Frohes neues Jahr noch!!!

und gleichfalls.

> es ist wieder wie immer: Ich weiß, was der Konvergenzradius
> ist (kenne die Def.), aber ich habe noch nie einen bestimmt
> und weiß damit auch nicht, wie das geht. Muss ich den raten
> und dann beweisen oder kann man das auch alles irgendwie
> umformen, dass dann am Ende offensichtlich ist, was der KR
> ist?
>  Also bei der ersten ist ja R=1. Das kann ich auch
> beweisen. Aber da muss es doch noch eine andere Möglichkeit
> geben, wie ich den Konvergenzradius BESTIMMEN kann oder?

Es gibt da z. B. die Formeln (R = Konvergenzradius)

$R = [mm] \frac{1}{\overline{\limes_{n \rightarrow \infty}}\wurzel[n]{|a_n|}}$ [/mm] (Formel von Cauchy Hadamard)

mit [mm] $\overline{\lim} [/mm] = lim sup$

und

$R = [mm] \frac{1}{\limes_{n \rightarrow \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|} [/mm] $ (anwendbar, falls der Grenzwert existiert)

Falls du auf der Suche nach soetwas warst - aber eigentlich solltest du nur die Sachen benutzen, die bei euch in der Vorlesung schon drankamen.


MfG!
Disap


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Vorlseungsstoff
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Di 02.01.2007
Autor: MichiNes

Servus und danke für die Antwort.

Auf diese Formeln bin ich beim googlen auch schon gestoßen. Die darf ich aber glaub ich nicht anwenden, weil wir die noch nicht besprochen haben. Wir haben lediglich die Definition des Konvergenzradius durchgenommen.

Hat vielleicht jemand trotzdem ne Idee, was ich dann da machen könnte?

Gruß Michi

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Di 02.01.2007
Autor: Elise

Hattet ihr schon die verschiedenen tests für absolute Konvergenz??? Also Majoranten-,Quotienten- und Wurzelkriterium??? Wenn ja, kannst du die hier sicherlich anwenden, bei aufgabe a müsste das Quotientenkriterium passen. Probier auf jeden Fall mal ein bisschen mit diesen Tests rum. Hoffe du kommst zu was,
liebe grüße


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius: Dritte Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Do 04.01.2007
Autor: MichiNes

Stimmt!!
Vielen Dank für den Tipp. Hab Aufgabe 1 tatsächlich mit dem Quotientenkriterium so hingetrickst, dass am Ende ersichtlich ist, dass es nur ein [mm] \theta\in[0,1) [/mm] das größer als [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] ist, geben kann, wenn |z|<1 gilt.
Also das stimmt denk ich schon mal.
Die 2te Aufgabe hab ich gleich gemacht (also auch mit dem Quotientenkriterium.

Jetzt fehlt mir nur noch die dritte Aufgabe. Ich brauch da doch erst mal eine explizite Formel, oder? Aber auf die komm ich partout nicht.
Wie in etwa könnte denn die aussehen, hat da einer ne Idee?

Vielen Dank!
Gruß Michi

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Do 04.01.2007
Autor: angela.h.b.


>
> Jetzt fehlt mir nur noch die dritte Aufgabe. Ich brauch da
> doch erst mal eine explizite Formel, oder? Aber auf die
> komm ich partout nicht.
>  Wie in etwa könnte denn die aussehen, hat da einer ne
> Idee?

Hallo,

vielleicht so?

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}z^n [/mm]

Gruß v. Angela



Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Do 04.01.2007
Autor: MichiNes

Hallo angela!!

Hab gerade mal deine Formel ausprobiert.

Für n=1 passt es. FÜr n=2 auch.
Aber für n=3 krieg ich heraus:

[mm] \bruch{6!}{2^{6}*(6!)^{2}}z^{3}=\bruch{1}{2^{6}*6!}z^{3} [/mm]

Ist das noch das was wir suchen? Ich glaub eher nicht oder?
Oder hab ich mich wo verrechnet??

Vielen Dank, dass du dich (mal wieder) unserer annimmst :-)

Gruß Michi

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Do 04.01.2007
Autor: MichiNes

Ok sorry angela, habe meinen Fehler selbst bemerkt. Im Nenner natürlich [mm] (3!)^{2} [/mm]

Danke für die Lösung. Die ist viel komplizierter als ich dachte.

Wie bist du denn DA draufgekommen wenn ich fragen darf???

Gruß Michi

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Do 04.01.2007
Autor: MichiNes

Ok habe deine Formel jetzt mal angewendet im Quotientenkriterium. Bekomme aber leider nix brauchbares dabei heraus.

Am Ende steht bei mir lediglich (Verrechnungen natürlich auch sehr wahrscheinlich):

[mm] \bruch{(2n!)*(n+1)*(n+2)}{4n^{2}} [/mm]

Habe halt zum Beispiel (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n)!(n+1)(n+2) umgeformt.

Kann ich damit irgendwie weiterarbeiten? Oder hab ich mich verrechnet? Oder bin ich komplett aufm falschen Weg??

Danke schon mal

Gruß Michi

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Do 04.01.2007
Autor: angela.h.b.


>
> Am Ende steht bei mir lediglich (Verrechnungen natürlich
> auch sehr wahrscheinlich):
>  
> [mm]\bruch{(2n!)*(n+1)*(n+2)}{4n^{2}}[/mm]

Das kann schon deshalb nicht sein, weil ja gar kein z mehr im Rennen ist.

>  
> Habe halt zum Beispiel (2(n+1))!=(2n+2)!=(2n)!(n+1)(n+2)
> umgeformt.

(2(n+1))!=(2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)


> Kann ich damit irgendwie weiterarbeiten? Oder hab ich mich
> verrechnet?

Ja.

>Oder bin ich komplett aufm falschen Weg??

Ich glaube nicht.

Ich sage Dir mal (ohne Gewähr) meinen Quotienten: [mm] \bruch{z}{2}(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm]

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Do 04.01.2007
Autor: MichiNes

Ok war wohl etwas verpeilt gerade :-)

Jetzt haben wir ein anderes Ergebnis, aber irgendwie nicht deins :-(
Haben es aber 2x durchgerechnet und sind 2x darauf gekommen. Vielleicht kannsts ja nochmal nachprüfen (?).

Unser Quotient:

[mm] \bruch{2n^{2}+3n+1}{2n^{2}+4n+2}z \to [/mm] 1

Deiner würde ja aber gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gehen oder?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Do 04.01.2007
Autor: MichiNes

der term geht natürlich gegen z.
ich meinte natürlich der bruch geht gegen 1. sorry, heut ist wohl nicht mein tag :-D

Bezug
                                                                                                
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Do 04.01.2007
Autor: angela.h.b.


> der term geht natürlich gegen z.
>  ich meinte natürlich der bruch geht gegen 1. sorry, heut
> ist wohl nicht mein tag :-D

Hm. Ich zweifele daran, ob's mein Tag ist:

meine Bemerkung mit dem z scheint mir Quatsch gewesen zu sein...

EDIT: nein, doch nicht! Ihr wollt ja das Quotientenkriterium verwenden, oder?


Also für
[mm] \bruch{(2(n+1))!z^{n+1}}{2^{2(n+1)}((n+1)!)^2}\bruch{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!z^n} [/mm]

[mm] =\bruch{(2n+1)(2n+2)z}{2^2(n+1)^2} [/mm]

[mm] =\bruch{(2n+1)z}{2(n+1)} [/mm]

[mm] =\bruch{z}{2}(1+\bruch{n}{n+1}) [/mm]        

Gruß v. Angela

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Do 04.01.2007
Autor: angela.h.b.


>
> Wie bist du denn DA draufgekommen wenn ich fragen darf???

Durch draufgucken, aufschreiben, Fehler, draufgucken, aufschreiben, freuen...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]