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Ich komme kurz vor meiner Zwischenprüfung nochmal auf mein "Lieblingsthema" zurück: Potenzreihen und der Konvergenzradius. Seit meiner grundsätzlichen Frage dazu, habe ich jetzt etwas mehr Durchblick, aber ein bißchen was fehlt noch.
Frage 1: Entstehen Potenzreihen z.B. immer aus Taylor-Reihen? Der Zusammenhang scheint ja wirklich sehr deutlich zu sein!
Wenn ich die Exponentialfunktion nehme, sie nach Taylor entwickele (Frage 2: Ich habe sie um x=0 entwickelt, ist das eigentlich egal?), dann erhalte ich die allgemein bekannte Potenzsummendarstellung der e-Funktion.
In diesem Fall ist es leicht die Reihe von null bis unendlich zu berechnen und wenn man den Rest der Taylorabschätzung nach Lagrange berechnet, dann kommt null heraus. Meine Frage 3 ist: Kommt da immer null heraus, wenn man die komplette Reihe bis unendlich bestimmt und nur etwas anderes als null, wenn man eine begrenzte Taylor-Entwicklung vornimmt - also beispielsweise nur bis zur 5. Ableitung?
Und schließlich meine letzte Frage 4: Wie berechne ich nach der Formel von Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius der Exponentialfunktion? Wenn ich die Potenzreihe einsetze, erhalte ich:
r = [mm] \bruch{1}{limsup(\sqrt[n]{| \bruch{1}{n!}|})}
[/mm]
...wenn ich nicht irre.
Aber wie gehts dann weiter?
Vielleicht hat auch jemand schöner rechenbare Beispiele wie [mm] a_{n} [/mm] = [mm] x^{n} [/mm] zum Beispiel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 So 07.11.2004 | | Autor: | ImperatoM |
Nachdem noch keien Antwort in Sicht ist, habe ich meine Fragen auch hier gestellt:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000002431&read=1&kat=Studium
Ich würde mich nach wie vor über Antworten freuen, dann aber bitte gleich unter obigem Link, so daß die Leute dort dann auch wissen, daß die Frage beantwortet ist.
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Di 09.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Tom!
> Frage 1: Entstehen Potenzreihen z.B. immer aus
> Taylor-Reihen? Der Zusammenhang scheint ja wirklich sehr
> deutlich zu sein!
Eine Potenzreihe stellt im Inneren ihres Konvergenzkreises eine analytische Funktion dar. Entwickelt man sie um den gleichen Punkt in eine Taylorreihe, erhält man die Potenzreihe zurück.
> Wenn ich die Exponentialfunktion nehme, sie nach Taylor
> entwickele (Frage 2: Ich habe sie um x=0 entwickelt, ist
> das eigentlich egal?),
Wenn du sie um eine andere Stelle [mm] $x_0$ [/mm] entwickelst, bekommst du:
[mm] $\exp(x) [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(x-x_0)^n}{n!}$.
[/mm]
> dann erhalte ich die allgemein
> bekannte Potenzsummendarstellung der e-Funktion.
> In diesem Fall ist es leicht die Reihe von null bis
> unendlich zu berechnen und wenn man den Rest der
> Taylorabschätzung nach Lagrange berechnet, dann kommt null
> heraus. Meine Frage 3 ist: Kommt da immer null heraus, wenn
> man die komplette Reihe bis unendlich bestimmt
Wenn die Taylorreihe konvergiert, dann ja...
> und nur
> etwas anderes als null, wenn man eine begrenzte
> Taylor-Entwicklung vornimmt - also beispielsweise nur bis
> zur 5. Ableitung?
Nimm mal eine Polynomfunktion. Da bricht die Taylor-Entwicklung schon nach endlich vielen Schritten ab. So kann man das also nicht sagen.
> Und schließlich meine letzte Frage 4: Wie berechne ich nach
> der Formel von Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius der
> Exponentialfunktion? Wenn ich die Potenzreihe einsetze,
> erhalte ich:
> r = [mm]\bruch{1}{limsup(\sqrt[n]{| \bruch{1}{n!}|})}
[/mm]
> ...wenn ich nicht irre.
> Aber wie gehts dann weiter?
Es gilt:
[mm] $\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} [/mm] = + [mm] \infty$.
[/mm]
Daher gilt:
$r = [mm] \bruch{1}{\limsup(\sqrt[n]{| \bruch{1}{n!}|})} [/mm] = + [mm] \infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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