Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{\infty}2^n*(x+1)^n/(3^n+2)n [/mm] |
Hallo,
Ich soll von der Aufgabe den Konvergenzradius bestimmen. Zuerst habe ich (x+1) Substituiert zu z und anschließend sowohl mit Konvergenz als auch Quotientenkriterium versucht, jedoch ohne auf ein Ergebnis zu kommen.
LG
|
|
| |
|
Hallo Jeany,
m.E. brauchst du nicht zu substituieren.
Deine Potenzreihe lässt sich ja schreiben als
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{\left(3^n+2\right)\cdot{}n}\cdot{}(x+1)^n$
[/mm]
Bestimmt gem. dem Kriterium von Cauchy-Hadamard
[mm] $r=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n}{\left(3^n+2\right)\cdot{}n}\right|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] und die Reihe konvergiert für $|x+1|<R$ und divergiert für $|x+1|>R$
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | $ [mm] r=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n}{\left(3^n+2\right)\cdot{}n}\right|} [/mm] $
--> R= 1/r |
Die Herleitung habe ich jetzt soweit verstanden. Vielen Dank für die schnelle Antwort.
ICh versteh allerdings nicht wie du auf 1 / r kommst.
Was ist denn die n-te Wurzel aus [mm] 3^n [/mm] +2?
Viele Liebe Grüße
Jeany
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
schau doch bitte nochmal ins Skript oder auf wikipedia nach, wie der Konvergenzradius einer Potenzreihe definiert ist.
Das ist [mm] $R=\frac{1}{\limsup ... }$
[/mm]
Da ich nicht diesen blöden Bruch tippen wollte, habe ich dessen Kehrwert genommen und ihn klein $r$ genannt.
Dann ist halt [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] 
Zur Berechnung von [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n}{(3^n+2)\cdot{}n}\right|}$:
[/mm]
Ich lasse mal das [mm] $\lim$ [/mm] Zeugs weg...
Benutze die Wurzelgesetze/Potenzgesetze:
[mm] $\sqrt[n]{\left|\frac{2^n}{(3^n+2)\cdot{}n}\right|}=\sqrt[n]{\frac{2^n}{(3^n+2)\cdot{}n}}=\frac{\sqrt[n]{2^n}}{\sqrt[n]{3^n+2}\cdot{}\sqrt[n]{n}}$
[/mm]
Nun in der ersten Wurzel im Nenner [mm] $3^n$ [/mm] ausklammern ...
Wie ist dann der [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}$ [/mm] davon
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Dieses 1/r kommt von der Herleitung. Den solltet Ihr eingentlich doch gehabt haben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Jeany1004 |
Danke nochmal .
Ich Weiß wie die Formeln davon sind nur das anwenden gelint mir bei dieser AUfgabe irgendwie nicht. Der limes ist dann doch 3/2 oder?
|
|
|
| |
|
Hi,
ja, gegen [mm] \frac{2}{3}, [/mm] also der Konvergenzradius [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
Also konvergiert die Potenzreihe für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit
[mm] $|x+1|<\frac{3}{2}$, [/mm] also für $-2,5<x<0,5$, also [mm] $x\in(-\frac{5}{2},\frac{1}{2})$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 13.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jeany,
>
> [mm]r=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n}{\left(3^n+2\right)\cdot{}n}\right|}[/mm]
>
>
> --> R= 1/r
> Die Herleitung habe ich jetzt soweit verstanden. Vielen
> Dank für die schnelle Antwort.
> ICh versteh allerdings nicht wie du auf 1 / r kommst.
> Was ist denn die n-te Wurzel aus [mm]3^n[/mm] +2?
zunächst zu [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{2^n}{\left(3^n+2\right)\cdot{}n}\right|}$:
[/mm]
Du musst hier beachten, wenn [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] einer reellen Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] existiert, so gilt [mm] $\lim_{n \to \infty}a_n=\limsup_{n \to \infty}a_n$ $(=\liminf_{n \to \infty}a_n)$
[/mm]
Mit dem zusätzlichen Wissen [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$, [mm] $\sqrt[n]{r} \to [/mm] 1$ für festes $r > 0$ (insbesondere im folgenden für $r=2$) und
[mm] $3^n [/mm] < [mm] 3^n+2 [/mm] < [mm] 2*3^n$
[/mm]
kann man dann hier sehr schnell vernünftig argumentieren, dass der obige [mm] $\limsup...$ [/mm] den Wert [mm] $\frac{2}{3}$ [/mm] haben wird.
Weiterhin zu dem Konvergenzradius:
Der Satz von Cauchy-Hadamard ist eigentlich eine Trivialität, wenn man das Wurzelkriterium zur Verfügung hat:
Betrachte [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_k (z-z_0)^k$. [/mm] Läßt Du darauf das Wurzelkriterium los, so folgt:
Diese Reihe konvergiert jedenfalls, wenn [mm] $\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k(z-z_0)^k|}=|z-z_0|*\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}=:|z-z_0|*r<1$ [/mm] und divergiert, wenn [mm] $|z-z_0| [/mm] *r> 1$.
Wenn also [mm] $|z-z_0|<\frac{1}{r}=:R$, [/mm] so konvergiert die Reihe, und wenn [mm] $|z-z_0| >\frac{1}{r}=R$ [/mm] ist, so divergiert sie.
Für [mm] $|z-z_0|=R$ [/mm] ist i.a. keine Aussage (mittels des W-Kriteriums) möglich.
Weiterhin setzt man hierbei in sinnvoller Weise [mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
