Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, wenn ich von folgender Potenzreihe den Konvergenzradius berechnen soll, komme ich auf ein falsches Ergebnis, wo liegt mein Fehler?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*(2x)^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*(2)^{2k+1}(x)^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{(-1)^{k}*2^{2k+1}}{2k+1}* \bruch{2(k+2)}{(-1)^{k+1}*2^{2(k+2)}}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{(-1)^{k} 2^{2k}*2 *(2k+4)}{(2k+1) *(-1)^{k} *(-1)^{1} *2^{2k}*2^{4}}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow |\bruch{4k+8}{-32k-16}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
herauskommen soll aber [mm] \bruch{1}{2} [/mm] wo liegt mei fehler?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Hallo, wenn ich von folgender Potenzreihe den
> Konvergenzradius berechnen soll, komme ich auf ein falsches
> Ergebnis, wo liegt mein Fehler?
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*(2x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*(2)^{2k+1}(x)^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
Ja, das ist ne gute Umformung!
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{(-1)^{k}*2^{2k+1}}{2k+1}* \bruch{2(k+2)}{(-1)^{k+1}*2^{2(k+2)}}|[/mm]
Was rechnest du hier?
Das sieht entfernt nach dem Quotientenkriterium aus.
Das muss dann aber lauten [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{(-1)^{k+1}\cdot{}2^{2k+3}\cdot{}x^{2k+3}}{2k+3}\cdot{}\frac{2k+1}{(-1)^k\cdot{}2^{2k+1}\cdot{}x^{2k+1}}\right|=...=4|x|^2$
[/mm]
Konvergenz also nach dem QK für [mm] $4|x|^2<1$, [/mm] also [mm] $|x|<\frac{1}{2}$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow |\bruch{(-1)^{k} 2^{2k}*2 *(2k+4)}{(2k+1) *(-1)^{k} *(-1)^{1} *2^{2k}*2^{4}}|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |\bruch{4k+8}{-32k-16}|[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{k\rightarrow\infty}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
>
> herauskommen soll aber [mm]\bruch{1}{2}[/mm] wo liegt mei fehler?
>
> lg Surfer
Alternativ kannst du das übliche Kriterium für Potenzreihen : Cauchy-Hadamard bemühen.
Du hast ja die Potenzreihe [mm] $\sum\frac{(-1)^k\cdot{}2^{2k+1}}{2k+1}\cdot{}x^{2k+1}$
[/mm]
Berechne [mm] $l=\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[2k+1]{|a_k|}$ [/mm] mit [mm] $a_k=\frac{(-1)^k\cdot{}2^{2k+1}}{2k+1}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{l}$
[/mm]
Das ist hier am schnellsten und einfachsten...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ich nehm dazu immer folgendes
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] also umgekehrte Quotientenregel, das liefert den direkten Radius! Aber was war jetzt mein Fehler? Wenn icg es so rechne nach meiner Form?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Du setzt hier $n+1_$ falsch ein. Denn z.B. aus $2n+1_$ wird durch einsetzen von $n+1_$ :
$$2*(n+1)+1 \ = \ 2n+2+1 \ = \ 2n+3$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Ah danke habs gemerkt, wenn ich dann dies ausrechne ohne den [mm] x^{2k+1} [/mm] Teil erhalte ich [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und wegen [mm] x^{2k+1} [/mm] muss ich wohl dann noch die Wurzel ziehen und erhalte dann [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
wah?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 30.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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> Ich nehm dazu immer folgendes
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm] also
> umgekehrte Quotientenregel, das liefert den direkten
> Radius! Aber was war jetzt mein Fehler? Wenn icg es so
> rechne nach meiner Form?
Hallo,
dafür, den Konvergenzradius via [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] auszurechnen, fehlt Dir aber eine wichtige Voraussetzung.
Welche? Schau Dir dazu Deine Reihe an:
es ist $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}\cdot{}(2x)^{2k+1}}{2k+1} [/mm] $= 2x - [mm] \bruch{2³}{3}x³ [/mm] + [mm] \bruch{2^5}{5}x^5 [/mm] - ...,
und das macht Dir ein Problem bei der Bildung des Quotienten.
Du kannst Dich natürlich mehr oder weniger elegant aus der Affäre ziehen, indem Du ...=x( [mm] 2x^0 [/mm] - [mm] \bruch{2³}{3}x^2 [/mm] + [mm] \bruch{2^5}{5}x^4 [/mm] - ...,) betrachtest.
Gruß v. Angela
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