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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten an den Rändern:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!} (-3x)^{2n+1} [/mm] |
Hallo Leute,
hab ein kleines Problem:
Die Formel für die Berechnung des Konvergenzradius ist mir bekannt, nur leider weiß ich nicht, ob ich die [mm] (-3x)^{2n+1} [/mm] erst auf die Form [mm] x^{n} [/mm] bringen muss, oder ob ich sofort den Konvergenzradius so ausrechnen darf:
R = [mm] \bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|\bruch{(-1)^{n+1}}{(2n+1)!}|}}
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke im Voraus
Gruß Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mi 20.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
Ich denke mal, dass Dein Weg auch möglich ist. Allerdings musst Du dann im Anschluss den Term [mm] $(-3x)^{2n+1}$ [/mm] berücksichtigen.
Ich würde hier wie folgt umformen:
[mm] $$(-3x)^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] (-3)^{2n+1}*x^{2n+1} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{2n+1}*3^{2n+1}*x^{2n+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Ok, Deine Umformung kann ich nachvollziehen, doch wie soll ich dann weitermachen?
Was soll ich am Besten miteinander verrechnen?
Gruß Michael
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> Hallo Loddar,
> Ok, Deine Umformung kann ich nachvollziehen, doch wie soll
> ich dann weitermachen?
> Was soll ich am Besten miteinander verrechnen?
Zunächst schreibst Du also Deine Reihe um: [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(-3x)^{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} (-3)^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}$.
[/mm]
Weil wir nur die Beträge der Summanden betrachten können wir den Faktor [mm] $(-1)^{n+1}$ [/mm] kurzerhand weglassen:
[mm]1/R=\limsup_n\sqrt[2n+1]{\frac{3^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\limsup_n\sqrt[n]{\frac{3^n}{n!}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{\sqrt[n]{n!}}=0[/mm]
also [mm] $R=\infty$.
[/mm]
Dies ist auch nicht erstaunlich, denn Deine Summe wird durch [mm] $\mathrm{e}^{3x}$ [/mm] majorisiert.
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Also sollte man zuerst so umformen, dass das x auf der rechten Seite allein steht, und der Exponent bestimmt die Wurzel, die man aus den Summanden zieht?
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Gruß Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 21.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, denn deine Potenzreihe schaut ja immer aus wie [mm] $\sum a_n x^n$ [/mm] Deshalb sollte da das x erstmal alleine stehen. Denn beim Konvergenzradius interessiert einen ja nur das [mm] $a_n$.
[/mm]
Da in deinem Fall da jetzt aber nicht n sondern $2n+1$ steht, musst du eben im Wurzelkriterium anstatt der n-ten Wurzel die $2n+1$te Wurzel dahinschreiben. Das richtet sich immer nach dem, was im Exponenten von x steht.
Wenn du das dann so weiter rechnest, bekommst du den Konvergenzradius raus.
LG
Kroni
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Super, ihr habt mir sehr geholfen.Vielen Dank.
Bis nächstes Mal :)
Gruß Michael
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