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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Konvergenzradius von [mm]\summe_{n=0}^{\infinity}\frac{n!}{n^n}(x-1)^{2n}[/mm]. |
Also prinzipiell kenne ich die Formeln:
[mm]R_a=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}. [/mm]
und
[mm]R_a=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|[/mm]
Jedoch verwirrt mich in dieser Aufgabe das -1. Hatte versucht das mit dem binomischen Lehrsatz aus zu rechnen, jedoch sah das danach nur noch schlimmer aus.
Hat jemand einen kleinen Tipp für mich? Ich stehe gerade total auf dem Schlauch...
Mit freundlichen Grüßen,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie den Konvergenzradius von
> [mm]\summe_{n=0}^{\infinity}\frac{n!}{n^n}(x-1)^{2n}[/mm].
> Also prinzipiell kenne ich die Formeln:
>
> [mm]R_a=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.[/mm]
> und
> [mm]R_a=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|[/mm]
Nimm' hier die zweite Formel:
[mm] $$R_a=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|\,.$$
[/mm]
> Jedoch verwirrt mich in dieser Aufgabe das -1. Hatte
> versucht das mit dem binomischen Lehrsatz aus zu rechnen,
> jedoch sah das danach nur noch schlimmer aus.
>
> Hat jemand einen kleinen Tipp für mich? Ich stehe gerade
> total auf dem Schlauch...
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Christoph
wo ist denn Dein Problem? Oben ist (nach einer Substitution [mm] $y:=(x-1)^2$, [/mm] und wenn man die Koeffizienten der Potenzreihe in [mm] $y\,$ [/mm] dann [mm] $b_n$ [/mm] nennt)
[mm] $b_n=n!/n^n\,,$ [/mm] so dass
[mm] $$\left|\frac{b_n}{b_{n+1}}\right|=\frac{n!}{n^n}*\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n+1)!}*\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=\frac{(n+1)^n}{n^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\,.$$
[/mm]
Und jetzt solltest Du den Konvergenzradius berechnen können, denn der Grenzwert der Folge [mm] $\Bigg(\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Bigg)_{n \in \IN}$ [/mm] sollte Dir durchaus bekannt sein. Das wäre dann der Konvergenzradius der Potenzreihe in [mm] $y=(x-1)^2\,,$ [/mm] und damit kann man sich den der obigen Potenzreihe in der Variablen [mm] $x\,$ [/mm] herleiten.
Aber Warnung:
Bei [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n^n}(x-1)^{2n}=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ [/mm] wäre ja
[mm] $$a_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ \frac{(n/2)!}{(n/2)^{n/2}}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}\;\;(n \in \IN_0)$$
[/mm]
zu setzen, und hier würde die zweite Formel Probleme bereiten, da ja jedes zweite Folgenglied der Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] verschwindet.
Also, wie oben angedeutet, solltest Du hier halt zunächst [mm] $y:=(x-1)^2$ [/mm] substituieren und dann dann damit weiterarbeiten. Ich ergänze Dir gleich noch einen Link zur Orientierung, wie das vonstatten gehen kann, wo Du auch Begründungen dazu findest, wie Du, wenn Du den Konvergenzradius der Potenzreihe in [mm] $y\,$ [/mm] kennst, dann den der Potenzreihe in [mm] $x\,$ [/mm] berechnen kannst...
Edit:
Ergänzung: Siehe z.B. diese Antwort, bzw. Du kannst Dir ruhig auch die ganze Diskussion dort anschauen...
Gruß,
Marcel
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Hallo Christoph,
wenn dich das $x-1$ und die Tatsache, dass dort keine Potenzreihe im eigentlichen Sinne, also [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$ [/mm] steht, sondern etwas mit "hoch 2n", gar zu sehr verwirren, definiere [mm] $y:=(x-1)^2$
[/mm]
Dann hast du die Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n^n}y^n$, [/mm] deren Konvergenzradius $R$ du garantiert berechnen kannst, siehe Hinweis von Marcel
Damit hast du dann Konvergenz für $|y|<R$, also [mm] $(x-1)^2
Das sollte doch zu machen sein ...
LG
schachuzipus
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