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Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Fr 12.02.2010
Autor: K0libri

Aufgabe
Bestimmen sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe.

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}*(z-j)^{2n} [/mm]

Ich hab leider ein paar Probleme mit dieser Potenzreihe.
Ich habe zuerst [mm] (z-j)^2 [/mm] substituiert
und erhalte
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}*y^n [/mm]

[mm] a_{n}:= \bruch{n^2}{2^n} [/mm]


[mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n}+1}| [/mm]  = [mm] |\bruch{n^2*2^{n+1}}{2^n*(n+1)^2}| [/mm]

= [mm] |\bruch{2n^2}{(n+1)^2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2n^2}{n^2+2n+1}| [/mm]

kann ich daraus jetzt folgern, dass (wenn ich durch [mm] n^2 [/mm] teile) der Grenzwert für [mm] n->\infty [/mm] = 2 ist? und was ist dann mit dem Konvergenradius? Ich hab ja substituiert wie krieg ich das jetzt wieder rückgänig gemacht?


gruß
k0libri

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Fr 12.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo KOlibri,

> Bestimmen sie den Konvergenzradius der folgenden
> Potenzreihe.
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}*(z-j)^{2n}[/mm]
>  Ich hab
> leider ein paar Probleme mit dieser Potenzreihe.
>  Ich habe zuerst [mm](z-j)^2[/mm] substituiert
>  und erhalte
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}*y^n[/mm]
>  
> [mm]a_{n}:= \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
>  
>
> [mm]|\bruch{a_{n}}{a_{n}+1}|[/mm]  =
> [mm]|\bruch{n^2*2^{n+1}}{2^n*(n+1)^2}|[/mm]
>
> = [mm]|\bruch{2n^2}{(n+1)^2}|[/mm] [ok] = [mm]|\bruch{2n^2}{n^2+2n+1}|[/mm] [ok]

Warum ausmultiplizieren, es ist doch [mm] $\left|\frac{2n^2}{(n+1)^2}\right|=2\cdot{}\left(\frac{n}{n+1}\right)^2=2\cdot{}\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^2=2\cdot{}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^2\longrightarrow 2\cdot{}(1-0)^2=2\cdot{}1=2$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$ [/mm]

>
> kann ich daraus jetzt folgern, dass (wenn ich durch [mm]n^2[/mm]
> teile)

> der Grenzwert für [mm]n->\infty[/mm] = 2 ist? [ok] und was ist
> dann mit dem Konvergenradius? Ich hab ja substituiert wie
> krieg ich das jetzt wieder rückgänig gemacht?

Du hast nun Konvergenz für $|y|<2$, also [mm] $|z-j|^2<2$ [/mm]

Damit für [mm] |z-j|<\sqrt{2}$ [/mm]

Also für alle [mm] $z\in\IC$, [/mm] die im Inneren des Kreises um $j$ mit Radius [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] liegen.

Evtl. gibt's noch Punkte auf dem Kreisrand, für die die Reihe konvergiert, aber es war ja "nur" nach dem Konvergenzradius gefragt, der ist [mm] $\sqrt{2}$ [/mm]


>
> gruß
>  k0libri

LG

schachuzipus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Sa 13.02.2010
Autor: K0libri

Danke schachuzipus !
Habs jetzt verstanden.

Gruß
k0libri
Bezug
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