Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Do 18.02.2010 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
ich schreibe bald Klausur und eines der Themen ist Konvergenzradius. Ich habe zwar mittlerweile besser verstanden, was es mit dem Radius auf sich hat, aber ich habe absolut keine Idee, wie ich auf den Konvergenzradius komme.
Ich habe leider auch kein Beispiel, da ich mich noch nicht mal erinnern kann, dass wir das überhaupt gemacht haben.
Vllt kann mir jemand helfen und es mir erklären.
Das wäre super nett.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Do 18.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Es ist relativ schwer zu verstehen was du wissen willst, da die Frage etwas allgemein ist, nicht?
Ich weiss zum Beispiel nicht auf welchem Mathematischen Niveau du was über den Konvergenzradius wissen willst. Ich denke ich verstehe das Thema relativ gut, aber vielleicht verstehst du es noch besser, hast nur eine konkrete Frage? Du schreibst doch dass du weisst was es mit dem Radius auf sich hat...
Jetzt steht zum Beispiel auf Wikipedia eine gute Erklärung dazu, oder ist das zu kompliziert?...dann kannst du natürlich konkret dazu Fragen...
Es gibt eigentlich zwei häufige Methoden um Ihn zu berechnen: Wurzelkriterium und Quotientenkriterium.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Vicky89 |
Ok, ich wusste nicht wie ich es konkreter formulieren soll. Es geht um Analysis I.
ich weiß einfach nicht, wie ich den konvergenzradius berechnen soll. wenn da eine aufgabe steht, und dazu berechnen Sie den Konvergenzradius hätte ich noch nicht mal einen ansatz. das einzige was ich weiß, ist, dass es innerhalb des radius konvergiert, außerhalb divergiert und am rand es keine pauschale aussage darüber gibt.
da ich keine aufgabe dazu habe, weiß ich einfach nicht,wie ich es anders beschreiben soll.
liebe grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Fr 19.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Okay...
Naja ich denke ein Beispiel von mir ist zwecklos, da es im google das Thema Konvergenzradius schon tausend mal gibt...
Aber ich kanns dir ja in Sätzen erklären:
Du hast eine Reihe. Von der willste den Konvergenzradius. Die Reihe hat einen Koeffizienten a und eine Variable x.
Naja wenn jetzt a = 0 ist, dann sind doch alle Glieder der Reihe 0, oder? Somit ist der Konvergenzradius unendlich, da es für jedes x konvergiert.
(Das war jetzt das einfachste Beispiel, dass es gibt)
Das Ziel ist, dass du weisst in welchem Bereich (Intervall) von x die Reihe noch konvergiert, sprich gegen einen Grenzwert strebt. Das Ganze heisst nich Konvergenzintervall sondern KonvergezRADIUS weil das auch für komplexe Zahlen gelten soll, bei welchen es in der komplexen Ebene einen RADIUS gibt. (Aber das mit dem komplexen Zahlen ist ja mal jetzt egal...)
So und jetzt kannst du mit dem Quotientenkriterium den Konvergenzradius bestimmen indem du [mm] a_{n+1} [/mm] / [mm] a_{n} [/mm] Teilst - d.h. Grenzwert ausrechnen.
Abend...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:03 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Okay...
>
> Naja ich denke ein Beispiel von mir ist zwecklos, da es im
> google das Thema Konvergenzradius schon tausend mal
> gibt...
>
> Aber ich kanns dir ja in Sätzen erklären:
>
> Du hast eine Reihe.
Nicht jede Reihe ist eine Potenzreihe. Die Form macht's!
> Von der willste den Konvergenzradius.
Von einer Potenzreihe der Form... (unten geht's weiter)
> Die Reihe hat einen Koeffizienten a und eine Variable x.
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\,.$$
[/mm]
Also: Es gibt hier nicht einen Koeffizienten, sondern eine Koeffizientenfolge [mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}\,.$ [/mm] Wie die Variable heißt, ist mal egal; [mm] $x\,$ [/mm] würde man typischerweise bei reellen Potenzreihen verwenden. [mm] $x_0$ [/mm] ist der Kreis-/Intervallmittelpunkt (Bezeichnung je nachdem, ob man eine komplexe oder reelle PR hat) (des Konvergenzkreises bzw. im reellen Falle kann man auch von Konvergenzintervall sprechen). Warum man [mm] $x_0$ [/mm] so bezeichnet, erklärt sich fast von selbst, wenn man weiß und verstanden hat, wie der Begriff des Konvergenzkreises zustandekommt und was es dann damit auf sich hat.
> Naja wenn jetzt a = 0 ist, dann sind doch alle Glieder der
> Reihe 0, oder? Somit ist der Konvergenzradius unendlich, da
> es für jedes x konvergiert.
Das stimmt, aber was Du dann eigentlich meinst, ist, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] hier jene Folge ist, bei der alle Glieder veschwinden. Also wenn man eine Abbildung $a: [mm] \IN_0 \to \IC$ [/mm] (bzw. [mm] $\IR$) [/mm] hat, dann heißt $a=0$ nichts anderes als [mm] $a_n:=a(n)=0$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_0\,.$ $a\,$ [/mm] selber ist hier also nicht ein Koeffizient, sondern in Wahrheit eine Abbildung.
> (Das war jetzt das einfachste Beispiel, dass es gibt)
Beweis?  Ne Spaß beiseite, es ist sicher mit eines der einfachsten, die es gibt...
> Das Ziel ist, dass du weisst in welchem Bereich (Intervall)
> von x die Reihe noch konvergiert, sprich gegen einen
> Grenzwert strebt. Das Ganze heisst nich Konvergenzintervall
> sondern KonvergezRADIUS weil das auch für komplexe Zahlen
> gelten soll, bei welchen es in der komplexen Ebene einen
> RADIUS gibt. (Aber das mit dem komplexen Zahlen ist ja mal
> jetzt egal...)
>
> So und jetzt kannst du mit dem Quotientenkriterium den
> Konvergenzradius bestimmen indem du [mm]\red{a_{n+1} / a_{n}}[/mm] Teilst berechnest
> - d.h. Grenzwert ausrechnen.
Das ist alles andere als gut formuliert. Er muss [mm] $|a_{n+1}/a_n|$ [/mm] "rechnen" und dann schauen, wie es dann mit dem GW bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] aussieht. Denn [mm] $a_{n+1}/a_n$ [/mm] (da fehlen übrigens Betragsstriche) rechnen hat erst mal gar nichts direkt mit einem Grenzwertprozess zu tun. Bei einem solchen muss ja irgendwas gegen irgendwas gelaufen lassen werden, oben dann halt noch [mm] $n\,$ [/mm] gegen [mm] $\infty\,.$ [/mm] (Und die Betragsstriche um [mm] $a_{n+1}/a_n$ [/mm] sollte man - wie gesagt - ergänzen.)
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Fr 19.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay...
>
> Naja ich denke ein Beispiel von mir ist zwecklos, da es im
> google das Thema Konvergenzradius schon tausend mal
> gibt...
>
> Aber ich kanns dir ja in Sätzen erklären:
>
> Du hast eine Reihe. Von der willste den Konvergenzradius.
> Die Reihe hat einen Koeffizienten a und eine Variable x.
>
> Naja wenn jetzt a = 0 ist, dann sind doch alle Glieder der
> Reihe 0, oder? Somit ist der Konvergenzradius unendlich, da
> es für jedes x konvergiert.
> (Das war jetzt das einfachste Beispiel, dass es gibt)
>
> Das Ziel ist, dass du weisst in welchem Bereich (Intervall)
> von x die Reihe noch konvergiert, sprich gegen einen
> Grenzwert strebt. Das Ganze heisst nich Konvergenzintervall
> sondern KonvergezRADIUS weil das auch für komplexe Zahlen
> gelten soll, bei welchen es in der komplexen Ebene einen
> RADIUS gibt. (Aber das mit dem komplexen Zahlen ist ja mal
> jetzt egal...)
>
> So und jetzt kannst du mit dem Quotientenkriterium den
> Konvergenzradius bestimmen indem du [mm]a_{n+1}[/mm] / [mm]a_{n}[/mm] Teilst
> - d.h. Grenzwert ausrechnen.
Ich kanns mir nicht verkneifen: was Du da oben schreibst , ist fürchterlich und hilft niemandem, nein es schadet eher
Marcel hat , Gott sei Dank, schon Korrekturen angebracht
FRED
>
>
> Abend...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 19.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ja sorry. Seit doch nicht so zimperlich! Ich habe doch geschrieben, dass der Rest auf Wikipedia steht...ich wollte nur eine praktische einführung geben. Es steht ja sonst schon überall und jede dritte Frage hier im Forum ist über Konvergenzradius...
Und das mit dem Betrag hab ich noch beim schreiben gedacht, hab aber gedacht das ist nicht so wichtig. Sorry demfall...ich vergesse immer das es wichtig ist Wert auf so Schreibweisen zu legen...dass das nun gerade schadet hab ich nicht gedacht! Ich wollte weder den Frager mit falschen Infos füttern noch den Dipl. und Dr. Mathematikern ein Grauen mit praktischer schreibweise antun.
Ich werds mir für die Zukunft merken.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Fr 19.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja sorry. Seit doch nicht so zimperlich!
Doch ! In der Mathematik geht ohne Präzision nichts
> Ich habe doch
> geschrieben, dass der Rest auf Wikipedia steht...ich wollte
> nur eine praktische einführung geben.
Das ging aber gewaltig in die Hose !
> Es steht ja sonst
> schon überall und jede dritte Frage hier im Forum ist
> über Konvergenzradius...
>
> Und das mit dem Betrag hab ich noch beim schreiben gedacht,
> hab aber gedacht das ist nicht so wichtig.
Na toll, dann überweise mir schnellstens 1000 €, denn Dir ist es ja nicht wichtig , ob Du 1000 € Guthaben oder 1000 € Schulden hast
> Sorry
> demfall...ich vergesse immer das es wichtig ist Wert auf so
> Schreibweisen zu legen...dass das nun gerade schadet hab
> ich nicht gedacht! Ich wollte weder den Frager mit falschen
> Infos füttern noch den Dipl. und Dr. Mathematikern ein
> Grauen mit praktischer schreibweise antun.
>
> Ich werds mir für die Zukunft merken.
Schön für Dich (und andere)
FRED
>
> Gruss
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:26 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja sorry. Seit doch nicht so zimperlich! Ich habe doch
> geschrieben, dass der Rest auf Wikipedia steht...ich wollte
> nur eine praktische einführung geben. Es steht ja sonst
> schon überall und jede dritte Frage hier im Forum ist
> über Konvergenzradius...
>
> Und das mit dem Betrag hab ich noch beim schreiben gedacht,
> hab aber gedacht das ist nicht so wichtig.
warum sollte das "nicht so wichtig" sein? Aber das mit dem Betrag fand' ich jetzt auch nicht sooo tragisch, das kann man auch einfach als Flüchtigkeitsfehler ansehen.
Die Idee einer praktischen Einführung finde ich übrigens sehr gut. Nur dann hättest Du Dich vielleicht auch etwas mehr an praktische Aspekte halten sollen. Denn Trivialbeispiele bringen nun keine wirklich praktisch neuen Erkenntnisse. (Das ist nicht böse gemeint; aber denke mal selbst drüber nach: Den Begriff des Grenzwertes erstmal mit der Folge, die konstant Null ist, einführen zu wollen etc. pp.)
> Sorry
> demfall...ich vergesse immer das es wichtig ist Wert auf so
> Schreibweisen zu legen...dass das nun gerade schadet hab
> ich nicht gedacht!
Das würde ich so jetzt auch nicht sagen. Ein mitdenkender Leser/Frager soll ja auch mitdenken und ggf. nachfragen, wenn etwas falsch oder missverständlich ausgedrückt wird. Nur sollte eine Antwort möglichst auch so formuliert sein, dass fast keine Missverständnisse auftreten. Kleinere Formulierungsfehler kann man vll. mal in Kauf nehmen, oder wenn etwas etwas "salopp" gesagt wird, weil es das ganze irgendwie anschaulicher und verständlicher (wegen Erfahrungswerten) macht, ist das auch okay. Aber ein gewisses Maß sollte dabei auch nicht überschritten werden.
> Ich wollte weder den Frager mit falschen
> Infos füttern noch den Dipl. und Dr. Mathematikern ein
> Grauen mit praktischer schreibweise antun.
Ich habe gar nichts gegen praktische Schreibweise oder Praxisbezug. Nur: Die Mathematik hat nicht ohne Grund ihre eigene, sehr präzise Sprache. Und nicht umsonst wird da alles sehr präzise und penibel gehandhabt. Das ist eine Wissenschaft, bei der man eigentlich nicht besonders viel Interpretationsspielraum hat und läßt. (Vll. gibt es in manchen Bereichen auch teilweise Ausnahmen.) Und das ist schon so gewollt.
Und ich kann Deine Antwort durchaus auch komplett sinnvoll lesen und interpretieren. Aber das liegt daran, weil ich mich eh da auskenne und weiß, wenn Du irgendwas sagst, was Du damit in mathematisch korrekter Sprache eigentlich meinst. Aber gerade jmd., der noch keine bis wenig Erfahrung diesbezüglich hat, wird da doch wahrscheinlich eher mehr verwirrt. Zumal man ja gerade auch in den Anfangssemestern lernt, wie wichtig es ist, korrekt, präzise und lückenlos zu arbeiten.
Ich verstehe auch nicht, wieso Du nun auf den Titeln (Dipl.-;Doktor-...mathematiker) rumreitest. Denn das ist davon unabhängig: Wer ernsthaft Mathematik betreibt und betreiben will, wird sehr schnell merken, dass man ohne diese Präzision sehr schnell zum einen an seine Grenzen stoßen wird, und zum anderen oft falsch bzw. in die falsche Richtung denkt. Weil man Ergebnisse falsch oder fehlinterpretiert.
> Ich werds mir für die Zukunft merken.
Damit sollten wir es hier nun auch gut sein lassen. Ich will ja auch hier keine Grundsatzdiskussion entfachen. Aber mache doch mal folgendes:
Gib' irgendeinem Deiner Kollegen, jmd., der vll. ein Mindestmaß an mathematischen Wissen und Verständnis hat, die Frage und Deine Antwort zu lesen und frage ihn, wie er Deine Antwort, wenn er sie Wort für Wort - ohne jetzt groß nachzudenken - interpretiert, bzw., was er meint, was Du ihm sagen willst.
Wenn er Dir gegenüber ehrlich ist, solltest Du erkennen, dass er vieles, was Du schreibst, so interpretiert, wie Du es geschrieben hast. Es aber etwas vollkommen anderes ist als das, was Du eigentlich gemeint hast.
Und das sollte eben möglichst vermieden werden!
P.S.:
Ich bezweifle übrigens, dass Du im MR "stink reich" werden wirst
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 So 21.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Liebe Studenten und gehrte Diplomierte und besonders geehrte Doktoren,
Ich kanns mir nicht verkneifen nochmals zu schreiben.
@Marcel. Du hast aber eine Grundsatzdiskussion ausgelöst.
Zu meinem Trivialen Beispiel: Ich fand es didaktisch gut, du nicht. Didaktik ist was subjektives, weil jeder anders lernt.
Ich habe mir überlegt was man den da nicht verstehen kann - ich habe damals nicht verstanden wieso man dem Radius sagt und nicht Intervall... der Rest steht, wie gesagt, auf Wikipedia.
PS: Ich hätte nicht gedacht, dass sich "Ehrenamtliche" so fürs gute Geld interessieren. Das Beispiel mit den 1000 Euro war schlagkräftig.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Liebe Studenten und gehrte Diplomierte und besonders
> geehrte Doktoren,
>
>
> Ich kanns mir nicht verkneifen nochmals zu schreiben.
>
> @Marcel. Du hast aber eine Grundsatzdiskussion ausgelöst.
>
> Zu meinem Trivialen Beispiel: Ich fand es didaktisch gut,
> du nicht. Didaktik ist was subjektives, weil jeder anders
> lernt.
> Ich habe mir überlegt was man den da nicht verstehen kann
> - ich habe damals nicht verstanden wieso man dem Radius
> sagt und nicht Intervall... der Rest steht, wie gesagt, auf
> Wikipedia.
>
> PS: Ich hätte nicht gedacht, dass sich "Ehrenamtliche" so
> fürs gute Geld interessieren. Das Beispiel mit den 1000
> Euro war schlagkräftig.
Was für ein Stuss !
FRED
>
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Mo 22.02.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Liebe Studenten und gehrte Diplomierte und besonders
> geehrte Doktoren,
>
>
> Ich kanns mir nicht verkneifen nochmals zu schreiben.
Ich auch nicht !
>
> @Marcel. Du hast aber eine Grundsatzdiskussion ausgelöst.
>
> Zu meinem Trivialen Beispiel: Ich fand es didaktisch gut,
Ich nicht: Du schreibst:
> "Du hast eine Reihe. Von der willste den Konvergenzradius. Die Reihe hat > einen Koeffizienten a und eine Variable x.
> Naja wenn jetzt a = 0 ist, dann sind doch alle Glieder der Reihe 0, oder? > Somit ist der Konvergenzradius unendlich, da es für jedes x konvergiert.
> (Das war jetzt das einfachste Beispiel, dass es gibt) "
Mit Verlaub, das ist nur Geschwätz
> du nicht. Didaktik ist was subjektives, weil jeder anders
> lernt.
> Ich habe mir überlegt was man den da nicht verstehen kann
> - ich habe damals nicht verstanden wieso man dem Radius
> sagt und nicht Intervall
Das scheinst Du bis heute nicht verstanden zu haben ! Durchaus spricht man vom Konvergenzintervall. Der Konvergenzradius ist die halbe Intervallänge
FRED
... der Rest steht, wie gesagt, auf
> Wikipedia.
>
> PS: Ich hätte nicht gedacht, dass sich "Ehrenamtliche" so
> fürs gute Geld interessieren. Das Beispiel mit den 1000
> Euro war schlagkräftig.
>
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Liebe Studenten und gehrte Diplomierte und besonders
> geehrte Doktoren,
>
>
> Ich kanns mir nicht verkneifen nochmals zu schreiben.
das verwährt Dir ja auch niemand.
> @Marcel. Du hast aber eine Grundsatzdiskussion ausgelöst.
Das hängt davon ab, wie man mit Kritik umgeht und umgehen kann.
> Zu meinem Trivialen Beispiel: Ich fand es didaktisch gut,
> du nicht. Didaktik ist was subjektives, weil jeder anders
> lernt.
Das ist auch nicht ganz korrekt. Du hast ja nicht "nur" ein Trivialbeispiel gewählt (was ich deswegen schlecht finde, weil man anhand dessen eigentlich so gut wie gar nichts "sieht"; es gibt einen Haufen trivialer Beispiele, bei denen man wenigstens einen minimalen Lerneffekt erzielen kann!); sondern es ist in der Tat so, dass das, was Du geschrieben hast, erstmal mathematisch sinnfrei bzw. fehlerhaft ist. Natürlich kann man sich auf den Standpunkt stellen, dass das Gegenüber auch schon so wissen wird, was gemeint ist. Aber ich finde diesen Standpunkt hier mehr als fehl am Platz:
Jmd., der eine konkrete Frage hat, muss erst mal Zeit damit verbringen, herauszufiltern bzw. zu interpretieren, was Du denn da wirklich gemeint hast. Das ist unnötige Zeit, die für ihn draufgeht.
Zudem sorgt das, was Du da geschrieben hast, enorm zur Verwirrung bzw. es kann enorm zur Verwirrung sorgen, so dass man hinterher eigentlich gar nicht durchblickt, was Du da denn sagen willst.
> Ich habe mir überlegt was man den da nicht verstehen kann
> - ich habe damals nicht verstanden wieso man dem Radius
> sagt und nicht Intervall... der Rest steht, wie gesagt, auf
> Wikipedia.
Tja, es gibt halt auch gewisse topologische Grundbegriffe, die man mal gelernt haben soll. Ich kreide Dir das nicht an, dass Du Dich da vll. nicht auskennst oder ausgekannt hast. Und es ist auch okay, dass Du Dich nun gezwungen fühlst, Dich zu verteidigen. Aber - ehrlich gesagt - finde ich es doch sehr schade, dass Du hier eine sehr ablehnende Haltung einnimmst, was Kritik betrifft.
Ich habe eine gewisse "Lehrerfahrung" als Korrektor; natürlich ist deswegen mein Wort nicht automatisch Gesetz. Aber ich versichere Dir, dass, egal, wie fähig Du sonst auch sein magst oder wie intelligent auch immer Du bist: Wenn Du an Deiner mathematischen Sprache bzw. Ausdrucksfähigkeit nicht arbeitest, wirst Du irgendwann - jedenfalls, was die Mathematik betrifft - in enorme Schwierigkeiten kommen. Denn wie gesagt: Man kann und darf zwischendurch auch mal etwas "salopp" sagen und schreiben, wenn dann immer noch eindeutig klar ist, was gemeint ist. Aber das, was Du geschrieben hast, ist - wie gesagt - mathematisch alles andere als korrekt und klar.
> PS: Ich hätte nicht gedacht, dass sich "Ehrenamtliche" so
> fürs gute Geld interessieren. Das Beispiel mit den 1000
> Euro war schlagkräftig.
Zum einen frage ich mich, warum plötzlich alle Ehrenamtliche von Dir verurteilt werden (Schubladendenken läßt grüßen), zum anderen finde ich diese Aussage hier von Dir mehr als unverschämt. Abgesehen davon ist Deine Schlussfolgerung hier auch alles andere als logisch...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Vicky89 |
also ehrlich gesgat war das wenig hilfreich. meine frage war ja wie man es berechnet..und wenn du meinst, dass es zwecklos ist, und es beiträge dazu schon oft genug gibt, dann solltest du beim nächsten mal vielleicht lieber gar nicht antworten. dann sparst du dir zeit und brauchst dich nicht beschweren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 So 21.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
ich hab die Frage ja nicht auf beantwortet gesetzt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Vicky und qsxqsx,
die untenstehende Erklärung finde ich nicht so wirklich gut, weil sie zum einen unvollständig, dann speziell und wenig allgemein ist. Daher etwas ausführlicher:
Der Begriff des Konvergenzradius spielt bei Potenzreihen eine Rolle. Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $(a_k)_{k \in \IN_0}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $z_0$ [/mm] ein beliebiger, aber einmal fest gewählter Punkt in [mm] $\IC$ [/mm] ist.
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium (Satz 6.17) konvergiert diese Reihe sicher für jedes [mm] $z\,,$ [/mm] für welches gilt
[mm] $$(\star_1)\;\;\;\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k(z-z_0)^k|} [/mm] < [mm] 1\,.$$ [/mm]
Mit
[mm] $$\sqrt[k]{|a_k(z-z_0)^k|}=\sqrt[k]{|a_k|}*|z-z_0|$$
[/mm]
läßt sich [mm] $(\star_1)$ [/mm] umschreiben zu der Bedingung
[mm] $$(\star_2)\;\;\; |z-z_0| [/mm] < [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\,.$$
[/mm]
Analog weiß man dann wegen des Wurzelkriteriums, dass die Reihe sicher für jene [mm] $z\,$ [/mm] divergiert, für die gilt
[mm] $$(\star_3)\;\;\;\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k(z-z_0)^k|} [/mm] > [mm] 1\,,$$ [/mm]
und dies läßt sich analog umschreiben zu
[mm] $$(\star_4)\;\;\; |z-z_0| [/mm] > [mm] \frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\,.$$
[/mm]
Nun definiert man [mm] $R:=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\,.$ [/mm] Und dann ist [mm] $(\star_2)$ [/mm] (das sind jene [mm] $z\,,$ [/mm] bei denen wir sicher wissen, dass die Potenzreihe konvergiert) äquivalent zu
[mm] $$(\star_2)\;\;\; |z-z_0| [/mm] < [mm] R\;\;\;\left(=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\right)\,,$$
[/mm]
und [mm] ($\star_4$) [/mm] (das ist die Bedingung für jene [mm] $z\,,$ [/mm] bei denen wir nun sicher Divergenz der PR vorhersagen können) äquivalent zu
[mm] $$(\star_2)\;\;\; |z-z_0| [/mm] > [mm] R\;\;\;\left(=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\right)\,,$$
[/mm]
Da [mm] $|z-z_0|$ [/mm] geometrisch (in der komplexen Ebene) den Abstand des Punktes [mm] $z\,$ [/mm] zu [mm] $z_0$ [/mm] misst, wissen wir nun also:
Ist der Abstand von [mm] $z\,$ [/mm] zu [mm] $z_0$ [/mm] (in der komplexen Ebene) echt größer als [mm] $R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\,,\$ [/mm] so divergiert die Potenzreihe.
Ist der Abstand von [mm] $z\,$ [/mm] zu [mm] $z_0$ [/mm] (in der komplexen Ebene) echt kleiner als [mm] $R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\,,\$ [/mm] so konvergiert die Potenzreihe.
Beachte: Der Konvergenzradius [mm] $R\,$ [/mm] ist definiert als
[mm] $$R=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\,,\$$
[/mm]
insbesondere also abhängig von der gegebenen Potenzreihe, denn:
Die Potenzreihe ist abhängig von der Folge [mm] $(a_k)_{k \in \IN_0}\,,$ [/mm] und der Konvergenzradius ist per Definitionem offenbar abhängig von dieser Folge.
P.S.:
Die Formel [mm] $R=\lim_{k \to \infty} \frac{|a_k|}{|a_{k+1}|}\,,$ [/mm] die Du in äquivalenter Form auch dem Wiki-Link über Konvergenzradius entnimmst, ergibt sich analog zu oben, indem man das Quotientenkriterium (Satz 6.19) anstelle des Wurzelkriteriums verwendet.
Um also den Begriff des Konvergenzradius vernünftig zu lernen:
Wiederhole oder lerne nochmal das Wurzel- und Quotientenkriterium. Du hast nun oben gesehen, wie man mithilfe des Wurzelkriteriums zum Begriff des Konvergenzradius kommt (durch Anwendung des Wurzelkriteriums auf die Potenzreihe und einer Umformung; strenggenommen sollte man da noch dazuschreiben, was im Falle [mm] $\limsup_{...}...=0$ [/mm] ist: Dann ist der Konvergenzradius [mm] $\infty$); [/mm] nun überlege Dir analoges mithilfe des Wurzelkriteriums.
Theoretisch sollte Dir nun klar sein, wie der Konvergenzradius zustandekommt.
Nun zum praktischen:
Wiederhole alles, was mit Grenzwerten (Folgen, konvergente Folgen, Limes superior) zu tun hat (in obigem Skript am besten Kapitel 5, wenn noch Zeit und Lust besteht, arbeite auch Kapitel 6 durch). Du wirst sicher auch entsprechende Übungsaufgaben haben oder finden, arbeite die durch. Denn um konkrete Berechnungen zu Konvergenzradien durchführen zu können, muss man mindestens mit dem Begriff des Grenzwertes (und damit auch mit Folgen) vertraut sein, bestenfalls sogar soweit, dass man mit Begriffen wie Limes superior und Limes inferior (im Skript ab Definition 5.18 ff.) vertraut ist und arbeiten kann.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Vicky89 |
danke, ich werde mir wenn ich es schaffe nochmal konvergenkriterien ansehen und probieren es dann besser zu verstehen.
liebe grüße
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