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| Aufgabe | | Berechnen Sie für welche x [mm] \in\mathbb{R} [/mm] die Potzenreihe f(x) [mm] =\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^{n}}{6^{n+1}} [/mm] konvergiert. Führen Sie ebenfalls eine Randbetrachtung durch. |
Zu erst habe ich mir die Potzenreihe etwas umgeschrieben.
Mit der Folge:
[mm] a_{n}=\frac{1}{6^{n+1}}
[/mm]
zu:
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_{n}(x-2)^{n}
[/mm]
Um den Konvergenzradius zu bestimmen habe ich jetzt [mm] a_{n} [/mm] in die Formel eingesetzt:
r = [mm] \lim_{n \to \infty }\left | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } \right [/mm] | = [mm] \left | \frac{6^{n+2} }{6^{n+1} } \right [/mm] | = 6
Divergenz liegt nur vor sofern [mm] \left | x-x_{0} \right [/mm] | < r. Das hieße: [mm] \left | x-x_{0} \right [/mm] | < 6. Mit [mm] x_{0}:= [/mm] 2 folgt daraus: [mm] \left | x-2 \right [/mm] | < 8 => [mm] \left | x \right [/mm] | < 8
Sagt mir das jetzt, dass für alle [mm] \left | x \right [/mm] | < 8 die Reihe konvergent ist. Stimmt mein Rechenweg bisher überhaupt? und was ist bei der Randbetrachtung zutun?
Danke schonmal.
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt...
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Hallo,
> Berechnen Sie für welche x [mm]\in\mathbb{R}[/mm] die Potzenreihe
> f(x) [mm]=\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-2)^{n}}{6^{n+1}}[/mm]
> konvergiert. Führen Sie ebenfalls eine Randbetrachtung
> durch.
> Zu erst habe ich mir die Potzenreihe etwas umgeschrieben.
>
> Mit der Folge:
> [mm]a_{n}=\frac{1}{6^{n+1}}[/mm]
> zu:
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_{n}(x-2)^{n}[/mm]
>
> Um den Konvergenzradius zu bestimmen habe ich jetzt [mm]a_{n}[/mm]
> in die Formel eingesetzt:
> r = [mm]\lim_{n \to \infty }\left | \frac{a_{n} }{a_{n+1} } \right[/mm]
> | = [mm]\left | \frac{6^{n+2} }{6^{n+1} } \right[/mm] | = 6
>
das ist soweit richtig.
> Divergenz liegt nur vor sofern [mm]\left | x-x_{0} \right[/mm] | <
> r. Das hieße: [mm]\left | x-x_{0} \right[/mm] | < 6. Mit [mm]x_{0}:=[/mm] 2
> folgt daraus: [mm]\left | x-2 \right[/mm] | < 8 => [mm]\left | x \right[/mm]
> | < 8
Hier meinst du vermutlich Konvergenz?
> Sagt mir das jetzt, dass für alle [mm]\left | x \right[/mm] | < 8
> die Reihe konvergent ist. Stimmt mein Rechenweg bisher
> überhaupt?
Für [mm]|x-2|<6 <=> -6
Für [mm]|x-2|<6 <=> -4
> und was ist bei der Randbetrachtung zutun?
Hier musst du eine gesonderte Betrachtung der Ränder durchführen. Wenn ich es richtig gesehen habe, hilft dir am rechten Rand der Konvergenzradius der geometrischen Reihe weiter, während am linken das Leibniz-Kriterium zum Ziel führt.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant.
> > Sagt mir das jetzt, dass für alle [mm]\left | x \right[/mm] | < 8
> > die Reihe konvergent ist. Stimmt mein Rechenweg bisher
> > überhaupt?
>
> Für [mm]|x-2|<8 <=> -6
Der K-Radius war doch [mm] $\rho=6$, [/mm] also hat man Konvergenz für $|x-2|<6$, also $-4<x<8$
Hast dich verwirren lassen 
>
> >und was ist bei der Randbetrachtung zutun?
>
> Hier musst du eine gesonderte Betrachtung der Ränder
> durchführen. Wenn ich es richtig gesehen habe, hilft dir
> am rechten Rand der Konvergenzradius der geometrischen
> Reihe weiter, während am linken das Leibniz-Kriterium zum
> Ziel führt.
>
>
> Gruß, Diophant
>
>
LG
schachuzipus
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Vielen Dank schonmal! Bei der " < 8 " hatte ich mich auch vertippt ;)
Zu den Randpunkten:
So wie ich das verstanden habe muss ich jetzt die Ränder -4 and 8 in die Reihe für x einsetzen.
Das wäre dann für x = -4:
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{(-6)^{n}}{6^{n+1}}= \lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^{n}}{6}
[/mm]
die geometrische Reihe [mm] (-1)^{n} [/mm] divergent.
Für x = 8:
[mm] \lim_{n \to \infty} \frac{(6)^{n}}{6^{n+1}}= \frac{1}{6}
[/mm]
Somit ist die ursprünglich zu untersuchende Reihe konvergent im halboffenen Intervall x [mm] \in [/mm] ]-4,8] ? Stimmt das?
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Hallo MN,
> Vielen Dank schonmal! Bei der " < 8 " hatte ich mich auch
> vertippt ;)
>
> Zu den Randpunkten:
> So wie ich das verstanden habe muss ich jetzt die Ränder
> -4 and 8 in die Reihe für x einsetzen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das wäre dann für x = -4:
> [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{(-6)^{n}}{6^{n+1}}= \lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^{n}}{6}[/mm]
Genauer hast du für $x=-4$ die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{6}$
[/mm]
>
> die geometrische Reihe [mm](-1)^{n}[/mm] divergent.
So kann man das auch ausdrücken ...
Du kannst 1/6 rausziehen, also [mm] $\frac{1}{6}\sum\limits_{n\ge 1}(-1)^n$
[/mm]
Dann dein Argument oder auch (auch direkt) das Trivialkriterium anwenden
>
> Für x = 8:
> [mm]\lim_{n \to \infty} \frac{(6)^{n}}{6^{n+1}}= \frac{1}{6}[/mm]
Nein, du hast [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{6}$
[/mm]
Die ist divergent, die Reihe!
>
> Somit ist die ursprünglich zu untersuchende Reihe
> konvergent im halboffenen Intervall x [mm]\in[/mm] ]-4,8] ? Stimmt
> das?
Nein, keiner der Randpunkte ist mit im Konvergenzintervall!
LG
schachuzipus
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