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Hallo!
Ich hätte eine Frage zum Konvergenzradius:
Annahme limes von $| [mm] \bruch{a_{k}}{a_{k+1}} [/mm] |$ wäre nicht existent, aber es würden der lim inf und der lim sup existieren, aber sie würden verschieden sein [mm] ($\rho [/mm] = [mm] \bruch{1}{lim sup} [/mm] = lim inf $). Ist lim inf $ [mm] \le [/mm] $ oder $ > $ als der Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] ?
Kann mir jemand diese Frage beantworten und eine passende Erklärung geben? Danke im Voraus.
Mfg,
Christian.
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Hallo!
Bei deiner Frage geht einiges ein bisschen durcheinander.
Den Konvergenzradius einer Potenzreihe [mm] $\summe_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] möchtest du mittels [mm] $\rho=\left(\limsup \frac {a_{n+1}}{a_n}\right)^{-1}$ [/mm] bestimmen.
Außerdem gilt: [mm] $\rho=\left(\liminf \frac {a_{n}}{a_{n+1}}\right)$.
[/mm]
Nehmen wir nun mal an, dass [mm] $\frac {a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] - und somit auch [mm] $\frac {a_n}{a_{n+1}}$ [/mm] - nicht konvergiert. Dann existieren jeweils [mm] $\limsup$ [/mm] und [mm] $\liminf$, [/mm] sind aber verschieden.
Im ersten Fall ist somit [mm] $\rho=\left(\limsup \frac {a_{n+1}}{a_n}\right)^{-1}<\left(\liminf \frac {a_{n+1}}{a_n}\right)^{-1}$.
[/mm]
Ob aber [mm] $\liminf \frac {a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] kleiner oder größer als [mm] $\rho$ [/mm] ist, hängt von den speziellen Werten ab. Dazu zwei kleine Beispiele:
1. Nimm an, [mm] $\limsup \frac {a_{n+1}}{a_n} =\bruch [/mm] 12$, also [mm] $\rho [/mm] = 2$, [mm] $\liminf \frac {a_{n+1}}{a_n} =\bruch [/mm] 13$.
2. Nimm an, [mm] $\limsup \frac {a_{n+1}}{a_n} [/mm] =3$, also [mm] $\rho =\bruch [/mm] 13$, [mm] $\liminf \frac {a_{n+1}}{a_n} [/mm] =2$.
Es lässt sich also keine eindeutige Aussage machen.
Beantwortet das deine Frage?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mo 26.09.2005 | | Autor: | MrElgusive |
Hallo Banachella!
Anscheinend soll es doch eine eindeutige Antwort auf dieses Problem geben. Ich habe mich mal ein bisschen schlau gemacht, und nach Diskussionen mit ein paar Studienkollegen auf folgendes Ergebnis kommen, keine Ahnung ob das nun stimmt. Lim inf soll immer kleiner sein als [mm] $\rho$, [/mm] da sonst der Fall eintreten könnte, dass die Reihe nach dem Wurzelkriterium divergiert, jedoch nach dem Quotientenkriterium konvergiert, da ja das WK stärker als das QK ist.
Könnte das eine mögliche Antwort sein?
Mfg,
Christian.
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