Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 So 16.12.2012 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius in [mm] \IC
[/mm]
(a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+e^k}{2^k+k^2}(z-i)^n
[/mm]
(b) [mm] 1-z+\bruch{1*3}{1*2}z^2-\bruch{1*3*5}{1*2*3}z^3+\bruch{1*3*5*7}{1*2*3*4}z^4-+... [/mm] |
Okay ich fange mal bei (a) an.
Laut Skript muss ich folgendes machen:
[mm] R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}
[/mm]
Die Beträge kann ich ja weglassen:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k+k^2}}
[/mm]
Darf ich den Term nun nach oben abschätzen ?
Nur bringt mich das dann auch irgendwie nicht weiter.
Denn das würde folgendes ergeben:
[mm] \le \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k}}
[/mm]
Stimmt das so im Ansatz ?
Mfg. Lé Frog :P
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius in [mm]\IC[/mm]
>
> (a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+e^k}{2^k+k^2}(z-i)^n[/mm]
da sollte sicher [mm] $(z-i)^\red{k}$ [/mm] stehen...
>
> (b)
> [mm]1-z+\bruch{1*3}{1*2}z^2-\bruch{1*3*5}{1*2*3}z^3+\bruch{1*3*5*7}{1*2*3*4}z^4-+...[/mm]
> Okay ich fange mal bei (a) an.
>
> Laut Skript muss ich folgendes machen:
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> Die Beträge kann ich ja weglassen:
Hier betrachtest Du also nur [mm] $\limsup...$ [/mm] - beachte, dass Du bei [mm] $R\,$ [/mm] am
Ende dann noch den Kehrwert dieses Limsups bilden musst!
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k+k^2}}[/mm]
>
> Darf ich den Term nun nach oben abschätzen ?
> Nur bringt mich das dann auch irgendwie nicht weiter.
>
> Denn das würde folgendes ergeben:
>
> [mm]\le \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k}}[/mm]
>
> Stimmt das so im Ansatz ?
Ja, das bringt auch was:
[mm] $$\wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k+k^2}} \le \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k}}=\frac{1}{2}*\sqrt[k]{1+e^k}$$
[/mm]
Nun gilt sicher auch [mm] $\sqrt[k]{1+e^k} \le \sqrt[k]{e^k+e^k}=\sqrt[k]{2e^k}\,,$ [/mm] und dann benutze noch, dass [mm] $\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1$ für jedes $a > [mm] 0\,$ [/mm] gilt - insbesondere gilt das also für [mm] $a=2\,.$
[/mm]
Ein weiterer Tipp:
Zeige, dass [mm] $k^2 \le 2^k$ [/mm] für alle natürlichen $k [mm] \ge [/mm] 4$ gilt. Dann kannst
Du nämlich auch abschätzen
[mm] $$\sqrt[k]{\frac{e^k}{2*2^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+2^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+k^2}}$$
[/mm]
für alle $k [mm] \ge 4\,.$
[/mm]
Insgesamt gilt dann sicher für alle natürlichen $k [mm] \ge [/mm] 4$
[mm] $$\sqrt[k]{\frac{e^k}{2^{k+1}}}=\frac{1}{\sqrt[k]{2}}*\underbrace{\frac{e}{2}}_{=\sqrt[k]{(e/2)^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+k^2}}\le \frac{1}{2}*\sqrt[k]{2*e^k}=\frac{1}{2}*\sqrt[k]{2}*\underbrace{e}_{=\sqrt[k]{e^k}}$$
[/mm]
Bekommst Du das nun zu Ende gerechnet?
Beim Teil b) würde ich Dir zunächst mal den Tipp geben, die [mm] $a_n$ [/mm] in
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n(z-0)^n$$ [/mm]
formal aufzuschreiben:
[mm] $$a_n=(-1)^n*\frac{\produkt_{k=1}^{n}(2*\ldots-\ldots)}{n!}$$
[/mm]
(Beachte auch [mm] $n!=\produkt_{k=1}^n k\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 So 16.12.2012 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo,
>
> > Bestimmen Sie den Konvergenzradius in [mm]\IC[/mm]
> >
> > (a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+e^k}{2^k+k^2}(z-i)^n[/mm]
>
> da sollte sicher [mm](z-i)^\red{k}[/mm] stehen...
>
> >
> > (b)
> >
> [mm]1-z+\bruch{1*3}{1*2}z^2-\bruch{1*3*5}{1*2*3}z^3+\bruch{1*3*5*7}{1*2*3*4}z^4-+...[/mm]
> > Okay ich fange mal bei (a) an.
> >
> > Laut Skript muss ich folgendes machen:
> >
> > [mm]R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> >
> > Die Beträge kann ich ja weglassen:
>
> Hier betrachtest Du also nur [mm]\limsup...[/mm] - beachte, dass Du
> bei [mm]R\,[/mm] am
> Ende dann noch den Kehrwert dieses Limsups bilden musst!
>
> > [mm]\wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k+k^2}}[/mm]
> >
> > Darf ich den Term nun nach oben abschätzen ?
> > Nur bringt mich das dann auch irgendwie nicht weiter.
> >
> > Denn das würde folgendes ergeben:
> >
> > [mm]\le \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k}}[/mm]
> >
> > Stimmt das so im Ansatz ?
>
> Ja, das bringt auch was:
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k+k^2}} \le \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k}}=\frac{1}{2}*\sqrt[k]{1+e^k}[/mm]
>
> Nun gilt sicher auch [mm]\sqrt[k]{1+e^k} \le \sqrt[k]{e^k+e^k}=\sqrt[k]{2e^k}\,,[/mm]
> und dann benutze noch, dass [mm]\sqrt[n]{a} \to 1[/mm] für jedes [mm]a > 0\,[/mm]
> gilt - insbesondere gilt das also für [mm]a=2\,.[/mm]
>
> Ein weiterer Tipp:
> Zeige, dass [mm]k^2 \le 2^k[/mm] für alle natürlichen [mm]k \ge 4[/mm]
> gilt. Dann kannst
> Du nämlich auch abschätzen
> [mm]\sqrt[k]{\frac{e^k}{2*2^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+2^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+k^2}}[/mm]
>
> für alle [mm]k \ge 4\,.[/mm]
>
> Insgesamt gilt dann sicher für alle natürlichen [mm]k \ge 4[/mm]
>
> [mm]\sqrt[k]{\frac{e^k}{2^{k+1}}}=\frac{1}{\sqrt[k]{2}}*\underbrace{\frac{e}{2}}_{=\sqrt[k]{(e/2)^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+k^2}}\le \frac{1}{2}*\sqrt[k]{2*e^k}=\frac{1}{2}*\sqrt[k]{2}*\underbrace{e}_{=\sqrt[k]{e^k}}[/mm]
>
> Bekommst Du das nun zu Ende gerechnet?
Im Prinzip steht da ja bereits alles.
Somit ist [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k+1}{2^k+k^2} [/mm] = [mm] \bruch{e}{2}
[/mm]
Also ist R= [mm] \bruch{2}{e} [/mm] da ich noch den Kehrwert nehmen muss.
>
> Beim Teil b) würde ich Dir zunächst mal den Tipp geben,
> die [mm]a_n[/mm] in
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n(z-0)^n[/mm]
> formal aufzuschreiben:
> [mm]a_n=(-1)^n*\frac{\produkt_{k=1}^{n}(2*\ldots-\ldots)}{n!}[/mm]
> (Beachte auch [mm]n!=\produkt_{k=1}^n k\,.[/mm])
>
> Gruß,
> Marcel
Danke ich werd mich ransetzen und es mal probieren
Lg. Frosch :)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 16.12.2012 | | Autor: | Frosch20 |
> >
> > Beim Teil b) würde ich Dir zunächst mal den Tipp geben,
> > die [mm]a_n[/mm] in
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n(z-0)^n[/mm]
> > formal aufzuschreiben:
> >
> [mm]a_n=(-1)^n*\frac{\produkt_{k=1}^{n}(2*\ldots-\ldots)}{n!}[/mm]
> > (Beachte auch [mm]n!=\produkt_{k=1}^n k\,.[/mm])
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke ich werd mich ransetzen und es mal probieren
>
> Lg. Frosch :)
Also ich bin bislang soweit dass:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n z^n \bruch{?}{n!}
[/mm]
Nur oben weiss ich nicht sorecht. Ich brauche quasi die Fakultät nur aus den Ungraden Zahlen.
Dann müsste ich aber immer durch die Graden Zahlen teilen. Irgendwie hauts nicht so recht hin :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > >
> > > Beim Teil b) würde ich Dir zunächst mal den Tipp geben,
> > > die [mm]a_n[/mm] in
> > > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n(z-0)^n[/mm]
> > > formal aufzuschreiben:
> > >
> > [mm]a_n=(-1)^n*\frac{\produkt_{k=1}^{n}(2*\ldots-\ldots)}{n!}[/mm]
> > > (Beachte auch [mm]n!=\produkt_{k=1}^n k\,.[/mm])
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Danke ich werd mich ransetzen und es mal probieren
> >
> > Lg. Frosch :)
>
>
> Also ich bin bislang soweit dass:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n z^n \bruch{?}{n!}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Nur oben weiss ich nicht sorecht. Ich brauche quasi die
> Fakultät nur aus den Ungraden Zahlen.
> Dann müsste ich aber immer durch die Graden Zahlen
> teilen. Irgendwie hauts nicht so recht hin :/
$$1*3*...*(2n-1)=\produkt_{k=1}^n (2k-1)\,.$$
Nebenbei: man kann das auch anders ein wenig "getrickst" so schreiben:
$$1*3*...*(2n-1)=\frac{1*\red{2}*3*\red{4}*5*\red{6}*...*(2n-1)*\red{(2n)}}{\red{2*4*6*...*(2n)}}=\frac{(2n)!}{\produkt_{k=1}^n (2k)}=\frac{(2n)!}{2^n*\produkt_{k=1}^n k}=\frac{(2n)!}{2^n*(n!)$$
$\text{(}$Insbesondere haben wir gerade bewiesen:
$$\produkt_{k=1}^n (2k-1)=\frac{(2n)!}{2^n*(n!)}\,.\text{)}$$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Bestimmen Sie den Konvergenzradius in [mm]\IC[/mm]
> > >
> > > (a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1+e^k}{2^k+k^2}(z-i)^n[/mm]
>
> >
> > da sollte sicher [mm](z-i)^\red{k}[/mm] stehen...
> >
> > >
> > > (b)
> > >
> >
> [mm]1-z+\bruch{1*3}{1*2}z^2-\bruch{1*3*5}{1*2*3}z^3+\bruch{1*3*5*7}{1*2*3*4}z^4-+...[/mm]
> > > Okay ich fange mal bei (a) an.
> > >
> > > Laut Skript muss ich folgendes machen:
> > >
> > > [mm]R=\bruch{1}{\limes sup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Die Beträge kann ich ja weglassen:
> >
> > Hier betrachtest Du also nur [mm]\limsup...[/mm] - beachte, dass Du
> > bei [mm]R\,[/mm] am
> > Ende dann noch den Kehrwert dieses Limsups bilden
> musst!
> >
> > > [mm]\wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k+k^2}}[/mm]
> > >
> > > Darf ich den Term nun nach oben abschätzen ?
> > > Nur bringt mich das dann auch irgendwie nicht
> weiter.
> > >
> > > Denn das würde folgendes ergeben:
> > >
> > > [mm]\le \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k}}[/mm]
> > >
> > > Stimmt das so im Ansatz ?
> >
> > Ja, das bringt auch was:
> > [mm]\wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k+k^2}} \le \wurzel[k]{\bruch{1+e^k}{2^k}}=\frac{1}{2}*\sqrt[k]{1+e^k}[/mm]
>
> >
> > Nun gilt sicher auch [mm]\sqrt[k]{1+e^k} \le \sqrt[k]{e^k+e^k}=\sqrt[k]{2e^k}\,,[/mm]
> > und dann benutze noch, dass [mm]\sqrt[n]{a} \to 1[/mm] für jedes [mm]a > 0\,[/mm]
> > gilt - insbesondere gilt das also für [mm]a=2\,.[/mm]
> >
> > Ein weiterer Tipp:
> > Zeige, dass [mm]k^2 \le 2^k[/mm] für alle natürlichen [mm]k \ge 4[/mm]
> > gilt. Dann kannst
> > Du nämlich auch abschätzen
> > [mm]\sqrt[k]{\frac{e^k}{2*2^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+2^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+k^2}}[/mm]
>
> >
> > für alle [mm]k \ge 4\,.[/mm]
> >
> > Insgesamt gilt dann sicher für alle natürlichen [mm]k \ge 4[/mm]
>
> >
> >
> [mm]\sqrt[k]{\frac{e^k}{2^{k+1}}}=\frac{1}{\sqrt[k]{2}}*\underbrace{\frac{e}{2}}_{=\sqrt[k]{(e/2)^k}}\le \sqrt[k]{\frac{1+e^k}{2^k+k^2}}\le \frac{1}{2}*\sqrt[k]{2*e^k}=\frac{1}{2}*\sqrt[k]{2}*\underbrace{e}_{=\sqrt[k]{e^k}}[/mm]
>
> >
> > Bekommst Du das nun zu Ende gerechnet?
>
> Im Prinzip steht da ja bereits alles.
genau (und Du wirst Dich wundern, wie oft sowas nicht gesehen wird).
Was noch fehlt, wäre ein Satz: Nach dem Einschließkriterium folgt die
Existenz des Lim ... und damit auch Limsup ...=Lim ...
> Somit ist [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k+1}{2^k+k^2}[/mm]
> = [mm]\bruch{e}{2}[/mm]
>
> Also ist R= [mm]\bruch{2}{e}[/mm] da ich noch den Kehrwert nehmen
> muss.
Genau (sofern ich mich nicht verrechnet habe - ich erwarte aber, dass Du
das auch nachrechnest  ).
>
> >
> > Beim Teil b) würde ich Dir zunächst mal den Tipp geben,
> > die [mm]a_n[/mm] in
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n(z-0)^n[/mm]
> > formal aufzuschreiben:
> >
> [mm]a_n=(-1)^n*\frac{\produkt_{k=1}^{n}(2*\ldots-\ldots)}{n!}[/mm]
> > (Beachte auch [mm]n!=\produkt_{k=1}^n k\,.[/mm])
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke ich werd mich ransetzen und es mal probieren
Anmerkung: Wenn man mit der Berechnung von [mm] $\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
Probleme bekommt: Oft hilft's dann, zu versuchen, [mm] $R\,$ [/mm] mit
[mm] $$R=1/\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|$$
[/mm]
zu berechnen (![[]](/images/popup.gif) Wiki (klick!)).
(Wobei ich gerade erst nochmal den Hinweis bei Wiki gelesen habe: Bei
diesem "Quotientenkriterium" muss man aufpassen:
"
[mm] \left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\liminf_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=:r. [/mm]
Dies ist im Allgemeinen aber nicht der Konvergenzradius. Das liegt daran,
dass das Quotientenkriterium im folgenden Sinne echt schwächer ist als das Wurzelkriterium: Ist
[mm] \underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| [/mm] > 1,
so kann im Allgemeinen nicht darauf geschlossen werden, dass die Reihe [mm] \sum \limits_{n=0}^\infty {b_n} [/mm] divergiert. Die Divergenz erhält man aber aus
[mm] \underset{n\to\infty}{\mathop{\liminf}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| [/mm] > 1.
Ähnlich wie oben schließt man also, dass die Potenzreihe [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n [/mm] für [mm] \left|x-x_0\right|>R [/mm] divergiert, wobei
R := [mm] \frac{1}{\liminf_{n\to \infty} {\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}}.
[/mm]
Man kann im Allgemeinen folglich nur aussagen, dass der Konvergenzradius zwischen r und R liegt."
Nur: Oben habe ich nicht [mm] $1/\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|$ [/mm]
geschrieben-sondern ich meine wirklich [mm] $1/\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|$
[/mm]
- und falls dieser Limes rechterhand existiert, ist er auch der
Konvergenzradius.
Das passt dann auch zu der Bemerkung von Wiki: Denn die einzige Zahl,
die im abgeschlossenen Intervall mit den Grenzen [mm] $r\,$ [/mm] und [mm] $R\,$ [/mm] liegt,
ist dann [mm] $r=R=1/\lim |a_{n+1}/a_n|\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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