Konvergenzradius - Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 17.12.2012 | | Autor: | silfide |
EDIT: Exponenten von Exponenten von Exponenten in (i) und (iii) korrigiert. (HELBIG)
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen
[mm] i)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{{n}^{2}}}{n!}
[/mm]
[mm] ii)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(x+3)^{2n+1}}{n}
[/mm]
[mm] iii)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{{n}^{2}}}{(n!)!} [/mm] |
Hallo Leute,
ich tappe mal wieder im Dunkeln.
Zur i)
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{x^{n}^{2}}{n!}}{\bruch{x^{n+1}^{2}}{n+1!}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{x^{n}^{2}(n+1)!}{x^{n+1}^{2}*n!}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)}{x}|=\infty
[/mm]
Bin mir hier auch nicht sicher, ob ich dass so machen kann.
Beiden den beiden anderen Aufgaben, komme ich leider nicht recht zu Rande.
Kann wer helfen?? Bitte!
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen
> [mm]i)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}^{2}}{n!}[/mm]
>
> [mm]ii)\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(x+3)^{2n+1}}{n}[/mm]
> [mm]iii)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}^{2}}{(n!)!}[/mm]
aus dem Quelltext erkenne ich, dass diese Potenzen, die man nun oben
nur als [mm] $n2\,$ [/mm] lesen kann, wohl [mm] $n^2$ [/mm] heißen sollen. Einfach ein Paar
geschweifter Klammern komplett um den Exponenten setzen, dann
erscheint das auch richtig:
[mm]i)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{{n}^{2}}}{n!}[/mm]
[mm]iii)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{{n}^{2}}}{(n!)!}[/mm]
> Hallo
> Leute,
>
> ich tappe mal wieder im Dunkeln.
>
> Zur i)
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{x^{n}^{2}}{n!}}{\bruch{x^{n+1}^{2}}{n+1!}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{x^{n}^{2}(n+1)!}{x^{n+1}^{2}*n!}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(n+1)}{x}|=\infty[/mm]
>
> Bin mir hier auch nicht sicher, ob ich dass so machen
> kann.
Kannst Du SO nicht. Was ist denn bei Dir, bitteschön, auch [mm] $a_n$? [/mm] In einer
Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$$
[/mm]
sind die [mm] $a_n$ [/mm] unabhängig von der "Funktions-"Variablen [mm] $x\,.$ [/mm]
Und auch der zugehörige Konvergenzradius [mm] $R\,$ [/mm] ist unabhängig von der
Variablen. (Was hätte er sonst für einen Sinn?)
Aber ganz falsch ist die Vorgehensweise zumindest nicht. Du kannst
nämlich auch so herausfinden, für welche [mm] $x\,$ [/mm] Deine Reihe konvergiert
und für welche sie divergiert - einfach gemäß des Quotientenkriteriums.
Danach kannst Du damit dann auf den Konvergenzradius schließen, aber
der wird natürlich - wie gesagt - nicht von [mm] $x\,$ [/mm] abhängig sein.
Also, was ich meine, ist:
Wir untersuchen die Reihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{{n}^{2}}}{n!}$ [/mm] mit dem Quotientenkriterium.
Es ist
[mm] $$\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=\frac{|x|^{2n+1}}{n+1}\,,$$
[/mm]
(vielleicht siehst Du nun auch einen Rechenfehler, den Du wohl gemacht
hattest, den ich nicht gemacht habe:
Es gilt
[mm] $$|x|^{(n+1)^2}/|x|^{n^2}=|x|^{(n+1)^2-n^2}=|x|^{n^2+2n+1-n^2}=|x|^{2n+1}\,,$$
[/mm]
und NICHT
[mm] $|x|^{(n+1)^2}/|x|^{n^2}=|x|\,;$
[/mm]
Du hattest sowas wie letzteres bei Dir benutzt, wenngleich auch bei Deiner
Rechnung da der Kehrbruch überall steht!)
und daraus folgt insbesondere
[mm] $$\limsup_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=0 [/mm] < 1$$
für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] (warum?) und es folgt insbesondere auch
[mm] $$\liminf_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=\infty [/mm] > 1$$
für alle $|x| > [mm] 1\,.$
[/mm]
Wie hilft uns das nun, um den Konvergenzradius der Potenzreihe
anzugeben? (Eine Alternative, wo man wirklich mit den Koeffizienten
und auch mit der Folge der zugehörigen Exponenten den
Konvergenzradius berechnen kann, findest Du unten!)
> Beiden den beiden anderen Aufgaben, komme ich leider nicht
> recht zu Rande.
>
> Kann wer helfen?? Bitte!
Okay, ich schreibe erstmal etwas relativ allgemein auf:
Ist [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{b_n}$ [/mm] eine Potenzreihe, wobei
[mm] $(b_n)_{n \in \IN_0}$ [/mm] eine Teilfolge der Folge [mm] $(n)_{n=0}^\infty$ [/mm] sei,
dann berechnet sich der Konvergenzradius von [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^{b_n}$
[/mm]
vermittels
[mm] $$1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[\red{\mathf{b_n}}]{|a_n|}\,.$$
[/mm]
(Wenn Du wissen willst, wie man sich das herleiten kann, dann frage bitte
nach.)
Damit kannst Du erstmal bei i) und iii) formal hinschreiben, wie Du den
Konvergenzradius zu berechnen hast. (Bei i) ist dann [mm] $a_n=1/n!$ [/mm] und
[mm] $b_n=n^2\,.$ [/mm] Beachte auch, dass die Folge der Quadratzahlen
[mm] $(0,1,4,9,16,\ldots)$ [/mm] offenbar eine Teilfolge von [mm] $(0,1,2,3,4,5,6,\ldots)$ [/mm] ist!)
Wenn man da nicht weiter weiß, kann man etwa mal in ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 6.20
bzw. besser: Wiki (klick!)
gucken und mal versuchen, den gesuchten Grenzwert mit einem
"Quotientengrenzwert" zu berechnen. Dabei muss man aber, wie man auch
bei Wiki nachlesen kann, ein wenig vorsichtig sein, wenn man nachher
begründen will, dass da eine Gleichheit gilt.
Die Aufgabe ii) ist relativ einfach:
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(x+3)^{2n+1}}{n}=(x+3)*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^n}{n}$$
[/mm]
mit [mm] $y:=(x+3)^2\,.$
[/mm]
Nun kannst Du einfach den Konvergenzradius [mm] $R_y\,$ [/mm] der Potenzreihe in
[mm] $y\,$ [/mm] berechnen. Dann folgerst Du:
Die Potenzreihe in [mm] $y\,$ [/mm] konvergiert für alle [mm] $y\,$ [/mm] mit $|y| < [mm] R_y\,,$ [/mm] und
sie divergiert für alle [mm] $y\,$ [/mm] mit $|y| > [mm] R_y\,.$ [/mm]
Daraus folgerst Du - indem Du [mm] $y=(x+3)^2$ [/mm] resubstituierst und
[mm] $|(x+3)^2|=|x+3|^2$ [/mm] beachtest:
Die Konvergenzreihe in [mm] $x\,$ [/mm] konvergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-(-3)| < [mm] R_x:=\sqrt{R_y}$ [/mm] und sie divergiert für alle ...
Was ist demnach dann der Konvergenzradius der Ausgangs-Potenzreihe
in [mm] $x\,$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mo 17.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hey Marcel,
> aus dem Quelltext erkenne ich, dass diese Potenzen, die man
> nun oben
> nur als [mm]n2\,[/mm] lesen kann, wohl [mm]n^2[/mm] heißen sollen.
Ja, da hast du Recht. Hatte den Fehler erst gesehen, als die Frage schon reserviert war und damit gesperrt für mich.
> Kannst Du SO nicht. Was ist denn bei Dir, bitteschön, auch [mm]a_n[/mm]?
Mhhh, vermutlich [mm] \bruch{1}{n!}. [/mm] Bin mir aber nicht sicher.
In einer
> Potenzreihe
> [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n[/mm]
> sind die [mm]a_n[/mm] unabhängig
> von der "Funktions-"Variablen [mm]x\,.[/mm]
> Und auch der zugehörige Konvergenzradius [mm]R\,[/mm] ist
> unabhängig von der
> Variablen. (Was hätte er sonst für einen Sinn?)
>
> Also, was ich meine, ist:
> Wir untersuchen die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{{n}^{2}}}{n!}[/mm]
> mit dem Quotientenkriterium.
>
> Es ist
>
> [mm]\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=\frac{|x|^{2n+1}}{n+1}\,,[/mm]
> (vielleicht siehst Du nun auch einen Rechenfehler, den Du
> wohl gemacht
> hattest, den ich nicht gemacht habe:
> Es gilt
> [mm]|x|^{(n+1)^2}/|x|^{n^2}=|x|^{(n+1)^2-n^2}=|x|^{n^2+2n+1-n^2}=|x|^{2n+1}\,,[/mm]
> und NICHT
>
> [mm]|x|^{(n+1)^2}/|x|^{n^2}=|x|\,;[/mm]
>
> Du hattest sowas wie letzteres bei Dir benutzt, wenngleich
> auch bei Deiner
> Rechnung da der Kehrbruch überall steht!)
>
> und daraus folgt insbesondere
> [mm]\limsup_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=0 < 1[/mm]
>
> für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 1\,[/mm] (warum?)
Wenn |x|<1 ist, dann läuft [mm] |x|^{m} [/mm] mit m=2n+1 gegen Null. Und damit teilen wir etwas sehr Kleines mit etwas sehr Großes. und dadurch konvergiert die Reihe mit |x|<1
und es folgt
> insbesondere auch
> [mm]\liminf_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=\infty > 1[/mm]
>
> für alle [mm]|x| > 1\,.[/mm]
>
> Wie hilft uns das nun, um den Konvergenzradius der
> Potenzreihe
> anzugeben?
Naja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \gdw |x|<\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|}=:R
[/mm]
Den Rest muss ich mir noch ne Weile anschauen....
Mia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Hey Marcel,
>
>
>
> > aus dem Quelltext erkenne ich, dass diese Potenzen, die man
> > nun oben
> > nur als [mm]n2\,[/mm] lesen kann, wohl [mm]n^2[/mm] heißen sollen.
>
> Ja, da hast du Recht. Hatte den Fehler erst gesehen, als
> die Frage schon reserviert war und damit gesperrt für
> mich.
>
>
> > Kannst Du SO nicht. Was ist denn bei Dir, bitteschön, auch
> [mm]a_n[/mm]?
>
> Mhhh, vermutlich [mm]\bruch{1}{n!}.[/mm] Bin mir aber nicht sicher.
>
> In einer
> > Potenzreihe
> > [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n[/mm]
> > sind die [mm]a_n[/mm]
> unabhängig
> > von der "Funktions-"Variablen [mm]x\,.[/mm]
> > Und auch der zugehörige Konvergenzradius [mm]R\,[/mm] ist
> > unabhängig von der
> > Variablen. (Was hätte er sonst für einen Sinn?)
> >
>
> > Also, was ich meine, ist:
> > Wir untersuchen die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{{n}^{2}}}{n!}[/mm]
> > mit dem Quotientenkriterium.
> >
> > Es ist
> >
> >
> [mm]\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=\frac{|x|^{2n+1}}{n+1}\,,[/mm]
> > (vielleicht siehst Du nun auch einen Rechenfehler, den
> Du
> > wohl gemacht
> > hattest, den ich nicht gemacht habe:
> > Es gilt
> >
> [mm]|x|^{(n+1)^2}/|x|^{n^2}=|x|^{(n+1)^2-n^2}=|x|^{n^2+2n+1-n^2}=|x|^{2n+1}\,,[/mm]
> > und NICHT
> >
> > [mm]|x|^{(n+1)^2}/|x|^{n^2}=|x|\,;[/mm]
> >
> > Du hattest sowas wie letzteres bei Dir benutzt, wenngleich
> > auch bei Deiner
> > Rechnung da der Kehrbruch überall steht!)
> >
> > und daraus folgt insbesondere
> > [mm]\limsup_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=0 < 1[/mm]
>
> >
> > für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 1\,[/mm] (warum?)
>
> Wenn |x|<1 ist, dann läuft [mm]|x|^{m}[/mm] mit m=2n+1 gegen Null.
> Und damit teilen wir etwas sehr Kleines mit etwas sehr
> Großes. und dadurch konvergiert die Reihe mit |x|<1
>
> und es folgt
> > insbesondere auch
> > [mm]\liminf_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^2}}\right|=\infty > 1[/mm]
>
> >
> > für alle [mm]|x| > 1\,.[/mm]
> >
> > Wie hilft uns das nun, um den Konvergenzradius der
> > Potenzreihe
> > anzugeben?
>
> Naja [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \gdw |x|<\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|}=:R[/mm]
da verstehe ich die Aussage nicht ganz - auf der linken Seite des [mm] $\gdw$
[/mm]
steht ja auch gar keine. Allgemein gilt einfach folgendes: Wenn für eine
Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$$
[/mm]
gilt: Es gibt ein $P [mm] \in [0,\infty]$ [/mm] so, dass die folgenden zwei Aussagen
gelten:
1.) Die Reihe konvergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < P$
und
2.) die Reihe divergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] > [mm] P\,,$
[/mm]
dann ist [mm] $P\,$ [/mm] der Konvergenzradius der Potenzreihe. (Und damit folgt
insbesondere: Falls ein [mm] $P\,$ [/mm] wie oben existiert, dann ist
[mm] $$P=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\,.$$
[/mm]
Übrigens ist das eine "genau dann, wenn"-Aussage: Denn natürlich hat
man mit dem Konvergenzradius [mm] $\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ [/mm] ein [mm] $P\,$ [/mm] wie oben
gefunden, wenn man die andere Richtung beweisen will! Das folgt ja
einfach direkt aus dem Wurzelkriterium!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mo 17.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hey Marcel,
ich vergesse immer was ... hier die <1
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|<1 \gdw |x|<\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|}=:R[/mm]
Ich habe das oben stehende benutzt und rausbekommen, dass
[mm] R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{\bruch{1}{(n+1)!}}{\bruch{1}{(n)!}}|}=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{1}{(n+1)}|}=\infty
[/mm]
Kann ich das so machen?
Mia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mia,
> Hey Marcel,
> ich vergesse immer was ... hier die <1
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|<1 \gdw |x|<\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|}=:R[/mm]
>
> Ich habe das oben stehende benutzt und rausbekommen, dass
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{\bruch{1}{(n+1)!}}{\bruch{1}{(n)!}}|}=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup|\bruch{1}{(n+1)}|}=\infty[/mm]
>
>
> Kann ich das so machen?
> Mia
schreib' mir jetzt doch nochmal bitte alles auf, was Du machen willst, und
auch, was Du machst.
Prinzipiell gehst Du hier nämlich so vor:
Gesucht ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\,,$$
[/mm]
diese liegt Dir "in einer etwas unschönen Form vor", weil die Exponenten
bei [mm] $(x-x_0)$ [/mm] ja immer Quadratzahlen sind.
Strenggenommen könnte man bei Deiner Aufgabe sagen (beachte, dass
da nun "alpha-n's" stehen):
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \alpha_n (x-x_0)^{n^2}\,,$$
[/mm]
hat das gleiche Konvergenzverhalten wie
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \beta_n (x-x_0)^{n}\,,$$
[/mm]
wobei
[mm] $$\beta_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ KEINE Quadratzahl ist} \\ \alpha_k, & \mbox{falls } n=k^2 \mbox{ für ein }k \in \IN_0 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Also kann man auch "einfach" den Konvergenzradius von [mm] $\sum_{n=0}^\infty \beta_n (x-x_0)^{n}$ [/mm] bestimmen...
Aber zurück zu Deiner Methode:
Du berechnest gar nicht direkt [mm] $R=...\,.$ [/mm] Sondern Du machst folgendes:
Du schreibst
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$$
[/mm]
als eine einzelne Reihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty A_n\,,$$
[/mm]
wobei aber die [mm] $A_n=A_{n,x_0}(x)\,$ [/mm] sind:
[mm] $$A_n:=a_n*(x-x_0)^n\,.$$
[/mm]
Und nun untersuchst Du, für
welche [mm] $x\,$ [/mm] nun [mm] $\sum_{n=0}^\infty A_{n,x_0}(x)$ [/mm] konvergiert, und
zwar mit dem Quotientenkriterium.
(Im Übrigen ist das genau die Methodik, wie man mit dem Wurzelkriterium
(kurz: WK) eigentlich die Definition des Konvergenzradius als [mm] $1/\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
[/mm]
plausibel macht - nur, dass Du oben halt nicht das WK heranziehst,
sondern das QK! Und nach wie vor, wie auch bei Wiki steht: Da muss man
ein wenig aufpassen - das 'Aufpassen' kann man sich aber ersparen, wenn
beim QK aber direkt der Limes steht, denn dann ist Lim=Liminf=Limsup.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Di 18.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
Also ich habe mit deiner Hilfe die |x| herausgefunden für welche die Reihe von Aufgabe i) konvergiert.
Das sind alle |x|<1.
Nun sage ich, dass wenn man eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n} [/mm] hat, dass dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}*x^{n+1}}{a_{n}*x^{n}}| [/mm] <1 [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|*|x|<1 \gdw [/mm] |x| < [mm] \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|}=:R [/mm] ist.
(Hat mir Gono erklärt)
und nun mit [mm] a_{n}=\bruch{1}{n!} [/mm] folgt nun, dass
[mm] R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|}=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{(n+1)!}}{\bruch{1}{n!}}|}=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{1}{n+1}|}=\infty
[/mm]
Okay, ich hoffe jetzt kannst du es nachvollziehen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:19 Di 18.12.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Mia!
Irgendwas ist bestimmt falsch gelaufen.
Wenn du sagst, dass eine Potenzreihe den Konvergenzradius [mm] R=\infty [/mm] hat, sagst du weiterhin, dass diese Reihe für alle x konvergiert, wie z.B. die Exponentialreihe exp(x).
Wenn du aber nun sagst, dass eine Reihe [mm] \forall [/mm] x : |x|<1 konvergiert, wie könnte den Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] sein?
Stell dir mal vor, dieser Konvergenzradius ist in der Tat einen Kreis voll mit bestimmten x.
Wenn also die Reihe für alle [mm] x\in(-1,1) [/mm] konvergent ist, ist dann den Konvergenzradius nicht R=1 ?
lg, arraneo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:30 Di 18.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo arraneo,
hast Recht... Ist mir heute Nacht (wenn ich eigentlich schlafen sollte), auch klar geworden.
Brauche doch immer bis es sackt...
Habe es jetzt doch mit [mm] R=1/\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[b_{n}]{a_{n}} [/mm] aufgeschrieben. Wobei es eigentlich gehupft wie gesprungen ist ... (gerade gesehen) ... weiß jetzt auch gar nicht mehr, wie ich darauf gekommen bin *mmhh*.
Naja, was ich eigentlich sagen wollte: Danke!
Silfide
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo arraneo,
> Hey Mia!
>
> Irgendwas ist bestimmt falsch gelaufen.
>
> Wenn du sagst, dass eine Potenzreihe den Konvergenzradius
> [mm]R=\infty[/mm] hat, sagst du weiterhin, dass diese Reihe für
> alle x konvergiert, wie z.B. die Exponentialreihe exp(x).
>
> Wenn du aber nun sagst, dass eine Reihe [mm]\forall[/mm] x : |x|<1
> konvergiert, wie könnte den Konvergenzradius [mm]\infty[/mm] sein?
das ist so erstmal kein Widerspruch. Besser wäre die Frage: Wenn doch
eine Potenzreihe DIVERGIERT für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| [mm] \red{\;>\;}1$: [/mm] Wie
könnte dann der Konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] sein?
> Stell dir mal vor, dieser Konvergenzradius ist in der Tat
> einen Kreis voll mit bestimmten x.
>
> Wenn also die Reihe für alle [mm]x\in(-1,1)[/mm] konvergent ist,
> ist dann den Konvergenzradius nicht R=1 ?
Eine kleine Sache, s.o.: Wenn eine Potenzreihe konvergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm]
mit $|x| < [mm] 1\,,$ [/mm] so folgt noch lange nicht, dass der Konvergenzradius [mm] $1\,$ [/mm]
ist:
Es folgt nur, dass der Konvergenzradius [mm] $\ge [/mm] 1$ sein muss. (Bsp.: Wenn
eine Potenzreihe konvergiert etwa für alle [mm] $|x|<2\,,$ [/mm] dann doch sicher
auch für alle $|x| [mm] <1\,.$) [/mm] Und wenn man feststellt, dass die Potenzreihe
auch für alle $|x| > [mm] 1\,$ [/mm] divergiert, dann folgt, dass der Konvergenzradius
sicher [mm] $\le [/mm] 1$ sein muss.
Zusammen: Aus der Tatsache, dass die Potenzreihe für alle [mm] $|x|<1\,$ [/mm]
konvergiert und dass sie für alle [mm] $|x|>1\,$ [/mm] divergiert, folgt dann also,
dass der Konvergenzradius [mm] $\ge [/mm] 1$ und auch [mm] $\le [/mm] 1$ sein muss. Also
ist er dann [mm] $=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mo 17.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
> Die Aufgabe ii) ist relativ einfach:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(x+3)^{2n+1}}{n}=(x+3)*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^n}{n}[/mm]
> mit [mm]y:=(x+3)^2\,.[/mm]
>
> Nun kannst Du einfach den Konvergenzradius [mm]R_y\,[/mm] der
> Potenzreihe in
> [mm]y\,[/mm] berechnen.
Mit [mm] a_{n}=1/n [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] habe ich
[mm] R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{|\bruch{1}{n}|^{n}}}=\infty
[/mm]
Vermutlich ist das falsch, da ich nun damit (Folgerung)nicht weiter weiß:
Dann folgerst Du:
> Die Potenzreihe in [mm]y\,[/mm] konvergiert für alle [mm]y\,[/mm] mit [mm]|y| < R_y\,,[/mm]
> und
> sie divergiert für alle [mm]y\,[/mm] mit [mm]|y| > R_y\,.[/mm]
>
> Daraus folgerst Du - indem Du [mm]y=(x+3)^2[/mm] resubstituierst und
> [mm]|(x+3)^2|=|x+3|^2[/mm] beachtest:
> Die Konvergenzreihe in [mm]x\,[/mm] konvergiert für alle [mm]x\,[/mm] mit
> [mm]|x-(-3)| < R_x:=\sqrt{R_y}[/mm] und sie divergiert für alle
> ...
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo silfide,
> Hallo Marcel,
>
>
> > Die Aufgabe ii) ist relativ einfach:
> >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(x+3)^{2n+1}}{n}=(x+3)*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^n}{n}[/mm]
> > mit [mm]y:=(x+3)^2\,.[/mm]
> >
> > Nun kannst Du einfach den Konvergenzradius [mm]R_y\,[/mm] der
> > Potenzreihe in
> > [mm]y\,[/mm] berechnen.
>
> Mit [mm]a_{n}=1/n[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] habe ich
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{|\bruch{1}{n}|^{\red{n}}}}=\infty[/mm]
na, das ist deswegen falsch, weil Du einfach - woher auch immer - noch ein
[mm] $\red{n}$ [/mm] herbeigezaubert hast!
> Vermutlich ist das falsch, da ich nun damit
> (Folgerung)nicht weiter weiß:
Na, wenn obiges stimmen würde, solltest Du Dir Gedanken machen, dass
[mm] $\sqrt{\infty}:=\infty$ [/mm] im Umgang bei der Berechnung des
Konvergenzradius von Potenzreihen eine sinnvolle Definition ist. Oben
musst Du aber erstmal die Rechnung korrigieren.
Tipp: Erinnere Dich auch, dass [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ ($n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Mo 17.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
> na, das ist deswegen falsch, weil Du einfach - woher auch
> immer - noch ein
> [mm]\red{n}[/mm] herbeigezaubert hast!
Sieh mal an, ich kann zaubern... *rolleyes*
Hast natürlich Recht... nun komme ich darauf:
[mm] R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{|\bruch{1}{n}|}}=1
[/mm]
Und was mache ich jetzt damit?
Mia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Di 18.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mia,
> Hallo Marcel,
>
> > na, das ist deswegen falsch, weil Du einfach - woher auch
> > immer - noch ein
> > [mm]\red{n}[/mm] herbeigezaubert hast!
>
> Sieh mal an, ich kann zaubern... *rolleyes*
> Hast natürlich Recht... nun komme ich darauf:
>
> [mm]R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{|\bruch{1}{n}|}}=1[/mm]
na, nun weißt Du doch (wir sind ja bei Aufgabe ii), es wäre sinnvoll, ab und
an mal zu zitieren, damit man wenigstens noch weiß, worums geht):
Wir hatten
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{(x+3)^{2n+1}}{n}=(x+3)\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^n}{n} [/mm] $
mit $ [mm] y:=(x+3)^2\,. [/mm] $
umgeschrieben. Du hast nun berechnet, dass [mm] $R_y=1\,$ [/mm] ist. D.h. die
letztstehende Potenzreihe in [mm] $y\,$ [/mm] ist konvergent für alle [mm] $y\,$ [/mm] mit $|y| < [mm] 1\,,$ [/mm]
sie divergiert für alle [mm] $y\,$ [/mm] mit $|y| > [mm] 1\,.$ [/mm]
(Nebenbei: Eigentlich berechnet man bei
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\bruch{y^n}{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}(y-0)^n$$
[/mm]
den Konvergenzradius zu
[mm] $$\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(-1)^n/n|}}\,,$$
[/mm]
ich glaube, Du hattest das [mm] $(-1)^n$ [/mm] nicht mitgenommen. Aber hier hast Du
trotzdem damit ja keinen Fehler gemacht: [mm] $|(-1)^n|=1\,$...)
[/mm]
Die Ausgangspotenzreihe konvergiert daher für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-(-3)|^2 [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm]
und sie divergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-(-3)|^2 [/mm] > [mm] 1\,.$ [/mm]
Die Ausganzpotenzreihe hat also Konvergenzradius [mm] $\sqrt{1}=...$?
[/mm]
P.S. $x+3=x-(-3)$ habe ich nur deshalb geschrieben, damit man sieht,
dass [mm] $-3\,$ [/mm] der Mittelpunkt des Konvergkreises (hier:
Konvergenzintervalls) ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Di 18.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
okay, nun ist es definitiv klarer.
Allerdings verstehe ich den Schritt von hier:
> Die Ausgangspotenzreihe konvergiert daher für alle [mm]x\,[/mm] mit
> [mm]|x-(-3)|^2 < 1\,,[/mm]
> und sie divergiert für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x-(-3)|^2 > 1\,.[/mm]
Nach hier nicht ganz...
> Die Ausganzpotenzreihe hat also Konvergenzradius
> [mm][mm] \sqrt{1}=1
[/mm]
Kannst du mir, dass noch kurz erklären??
Mia
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:54 Di 18.12.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Marcel,
nun habe ich doch noch Fragen zur 3. Aufgabe.
> > [mm]iii)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}^{2}}{(n!)!}[/mm]
Denn ich komme nicht mit der Doppelfakultät klar.
Nachtrag: Denke nun, dass es keine Doppelfakultät im definierten Sinn ist...
Ich denke, dass es sich mit dieser Aufgabe ähnlich wie mit i) verhält.
Also für den Konvergenzradius, habe ich mit [mm] a_{n}=\bruch{1}{(n!)!} [/mm] und [mm] b_{n}=n^{2}
[/mm]
[mm] R=\bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty}sup\wurzel[n^{2}]{\bruch{1}{(n!)!}} }=1
[/mm]
Allerdings bereitet mir die Frage für welches x die Reihe konvergiert.
Habe es versucht zu lösen mit Substitution z=n!
Dann kann ich die Rechnung der Aufgabe i) (Quotientenkriterum benutzen. Also
> [mm] \limsup_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}*\frac{n!}{x^{n^{2}}\right|=\limsup_{n \to \infty}\left|\frac{x^{(n+1)^2}}{(z+1)}}\right|
[/mm]
Und mit Rücksubstitution folgt:
[mm] =\limsup_{n \to \infty}|\bruch{x^{(n+1)^{2}}}{n!+1}|
[/mm]
Kann ich das so machen?? Oder gibt es da ein Trick?
Hatte es auch mit ohne Substitution versucht.
Lösung:
[mm] q=\limes_{n\rightarrow\infty}sup|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup|\bruch{\bruch{x^{n+1}^{2}}{(n+1!)!}}{\bruch{x^{n}^{2}}{(n!)!}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}sup|\bruch{x^{2n+1}*(n!)!}{((n+1)!)!}|
[/mm]
Komme einfach nicht weiter ...
Tipp?? Bitte!
Mia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 20.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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