Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Do 06.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Ich soll den Konvergenzradius von folgender Potenzreihe bestimmen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}x^{3k}
[/mm]
Ich kenne Potenzreihen jedoch nur in dieser Form:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_n*(x-x_0)^k
[/mm]
Klar ist, dass der Entwicklungspunkt scheinbar die 0 ist.
Ich glaube aber, dass ich jetzt nicht [mm] a_n [/mm] als [mm] \bruch{(k!)^3}{(3k)!} [/mm] setzen darf und wie gewohnt den Konvergenzradius berechnen kann, da dort nicht [mm] x^k [/mm] sondern [mm] x^{3k} [/mm] steht.
Wie kann ich das jetzt machen?
Vielen Dank im Voraus
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Hallo hilbert,
> Ich soll den Konvergenzradius von folgender Potenzreihe
> bestimmen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}x^{3k}[/mm]
>
> Ich kenne Potenzreihen jedoch nur in dieser Form:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_n*(x-x_0)^k[/mm]
Naja, i.d.R. sind die Koeffizienten ja von k abh., also besser
[mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{\red{k}}\cdot{}(x-x_0)^k[/mm]
>
> Klar ist, dass der Entwicklungspunkt scheinbar die 0 ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich glaube aber, dass ich jetzt nicht [mm]a_n[/mm] als
> [mm]\bruch{(k!)^3}{(3k)!}[/mm] setzen darf und wie gewohnt den
> Konvergenzradius berechnen kann, da dort nicht [mm]x^k[/mm] sondern
> [mm]x^{3k}[/mm] steht.
>
> Wie kann ich das jetzt machen?
Es ist [mm]x^{3k}=\left(x^3\right)^k[/mm]
Substituiere also [mm]y:=x^3[/mm] und berechne den Konvergenzradius in [mm]y[/mm], rechne dann wieder in x um ...
>
>
> Vielen Dank im Voraus
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Do 06.10.2011 | | Autor: | hilbert |
Ja so einfach kann man das machen^^
dann komme ich also auf
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}*y^k.
[/mm]
Demnach ist der Konvergenzradius
r= [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{limsup(|a_k|)}} [/mm] mit [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{(k!)^3}{(3k)!}
[/mm]
der limsup von [mm] a_k [/mm] ist doch 0 oder? also ist die Potenzreihe quasi für alle y Konvergent und damit auch für alle x?
Vielen Dank schonmal =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Do 06.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja so einfach kann man das machen^^
>
> dann komme ich also auf
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}*y^k.[/mm]
>
> Demnach ist der Konvergenzradius
>
> r= [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{limsup(|a_k|)}}[/mm] mit [mm]a_k[/mm] =
> [mm]\bruch{(k!)^3}{(3k)!}[/mm]
Unfug ! 3. Wurzel ?
Der Konvergenzradius r der Potenzreihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}*y^k.[/mm]ist
[mm] r=\bruch{1}{lim ~sup ~\wurzel[k]{|a_k|} } [/mm] mit der Konvention [mm] 1/\infty:=0 [/mm] und 1/0:= [mm] \infty
[/mm]
>
> der limsup von [mm]a_k[/mm] ist doch 0 oder?
S.o.
> also ist die
> Potenzreihe quasi für alle y Konvergent und damit auch
> für alle x?
Mit und ohne "quasi" stimmt das nicht !
In obiger Aufgabe ist es vorteilhaft den KR der Potenzreihe
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}\cdot{}y^k. [/mm] $
mit der Formel
r= lim [mm] \bruch{a_k}{a_{k+1}}
[/mm]
zu berechnen. Dann hat Deine Potenzreihe
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}\cdot{}x^{3k} [/mm] $ den Konvergenzradius [mm] \wurzel[3]{r}
[/mm]
>
> Vielen Dank schonmal =)
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