Konvergenzradius Potenzreihe < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll bei einen Bsp zeigen das die Potenzreihe [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^2} [/mm] den Konvergenzradius 1 hat.
Ich habe es mal mit dem Quotientenkrit versucht aber komme irgendwie nicht voran.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2*x}{(n+1)^2} [/mm] und dann würde ich als Limes x herausbekommen bzw als Radius 1/x
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Ich soll bei einen Bsp zeigen das die Potenzreihe
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^2}[/mm] den
> Konvergenzradius 1 hat.
>
> Ich habe es mal mit dem Quotientenkrit versucht aber komme
> irgendwie nicht voran.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2*x}{(n+1)^2}[/mm] und dann
> würde ich als Limes x herausbekommen bzw als Radius 1/x
Unsinn.
Beträge !
Mit dem QK bekommst Du, wegen
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2\cdot{}|x|}{(n+1)^2} [/mm] =|x|$:
Die Potenzreihe konvergiert, falls |x|<1 und sie divergiert, falla |x|>1.
Damit ist der Konvergenzradius = 1.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Di 22.11.2011 | | Autor: | racy90 |
und eine blöde Frage noch wenn dann |x| dort steht,wie kannst du darauf schließen das es <1 ist?
|
|
|
| |
|
> und eine blöde Frage noch wenn dann |x| dort steht,wie
> kannst du darauf schließen das es <1 ist?
Hallo,
gar nicht schließt er das.
Was sagt denn das Quotientenkriterium?
Es sagt: wenn [mm] \lim_{n\to\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] existiert, dann konvergiert die Reihe [mm] \summe a_n, [/mm] wenn [mm] \lim_{n\to\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|<1, [/mm] und sie divergiert, sofern [mm] \lim_{n\to\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|>1.
[/mm]
Bei Deiner Reihe ist [mm] a_n:=\bruch{x^n}{n^2},
[/mm]
und es ist [mm] \lim_{n\to\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|=|x|
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium für die Konvergenz von Reihen bekommst Du nun:
die Reihe konvergiert, sofern x so beschaffen ist, daß |x|<1, und sie divergiert für |x|>1.
Das Verhalten der Reihe ist also je nach Wahl von x unterschiedlich.
Du solltest auch wissen, was für x=1 und x=-1 passiert - nicht für diese Aufgabe, sondern so allgemein als Rüstzeug fürs Leben.
Nun beschleicht aber das dumpfe Gefühl, daß Du eigentlich ein bißchen etwas anderes tun wolltest, als das, was Du getan hast:
könnte es sein, daß Du eigentlich plantest, den Konvergenzradius r der Potenzreihe [mm] \summe b_n(x-0)^n [/mm] mit dem Förmelchen [mm] \bruch{1}{r}=\lim_{n\to \infty}|\bruch{b_{n+1}}{b_n}| [/mm] ausrechnen wolltest.
Indizien weisen darauf hin...
Wenn das so ist, dann ist Dein [mm] b_n [/mm] doch [mm] b_n:=\bruch{1}{n^2}. [/mm] Ohne irgendwelches x. (!!!)
Dann hast Du [mm] \bruch{1}{r}=\lim_{n\to \infty}|\bruch{b_{n+1}}{b_n}|=\lim_{n\to \infty}|\bruch{n^2}{(n+1)^2}|=1 [/mm] ==> r=1.
Der Konvergenzradius ist also =1, das bedeutet: die Reihe konvergiert für |x-0|<1 und sie divergiert für |x-0|>1.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
