Konvergenzradius Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 13.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius für folgende Potenzreihen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}z^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n!} [/mm] |
Hallo zusammen,
1. Der Konvergenzradius ist 1? Ich komme auf lim [mm] \vmat{-\bruch{(n+1)^{1/2}}{n^{1/2}}} [/mm] und das ist der Betrag von -1, also 1.
2. Hier kam ich auf die Idee statt [mm] z^{n!} [/mm] eher [mm] (z^{n-1!} [/mm] hoch n) zu schreiben. Leider bringt mich das im Hinblick auf [mm] a_{k} [/mm] nicht weiter. Was mache ich denn wenn [mm] a_{k} [/mm] gleich 1 ist?
Im Voraus mal wieder vielen Dank
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Hallo Arthaire,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius für folgende
> Potenzreihen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n}}z^n[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} z^{n!}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> 1. Der Konvergenzradius ist 1? Ich komme auf lim
> [mm]\vmat{-\bruch{(n+1)^{1/2}}{n^{1/2}}}[/mm] und das ist der Betrag
> von -1, also 1.
> 2. Hier kam ich auf die Idee statt [mm]z^{n!}[/mm] eher [mm](z^{n-1!}[/mm]
> hoch n) zu schreiben. Leider bringt mich das im Hinblick
> auf [mm]a_{k}[/mm] nicht weiter. Was mache ich denn wenn [mm]a_{k}[/mm]
> gleich 1 ist?
>
Benutze hier das Wurzelkriterium.
> Im Voraus mal wieder vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 13.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
Die erste Teilaufgabe stimmt?
Wenn ich das Wurzelkriterium benutze, dann folgt [mm] \vmat{1}^{1/n} [/mm] und daraus wieder, dass der Radius 1 ist, da 1îrgendwas ja immer 1 ist. Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler drin?
Dankeschön
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Hallo Arthaire,
> Die erste Teilaufgabe stimmt?
>
Ja.
> Wenn ich das Wurzelkriterium benutze, dann folgt
> [mm]\vmat{1}^{1/n}[/mm] und daraus wieder, dass der Radius 1 ist, da
> 1îrgendwas ja immer 1 ist. Oder habe ich irgendwo einen
> Denkfehler drin?
>
Nein, da hast Du keinen Denkfehler.
> Dankeschön
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 13.12.2011 | | Autor: | Arthaire |
Super, so muss das laufen ;) Dann bleibt mir nur danke zu sagen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Zur Potenzreihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n!} [/mm] $
Man sieht sofort, dass diese Reihe für z=1 divergiert. Für |z|<1 ist [mm] |z^{n!}| \le |z|^n. [/mm] Somit ist die Potenzreihe für |z|<1 konvergent. Damit muß der Konvergenzradius =1 sein.
FRED
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