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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Konvergenzradius bestimmen
Konvergenzradius bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenzradius bestimmen: zur Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:58 Di 18.08.2009
Autor: jokerose

Aufgabe
a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe

[mm] \summe_{n\ge 0}n^5*z^n. [/mm]

b) Sei 0 < R < [mm] \infty [/mm] der Konvergenzradius der Reihe

[mm] \summe_{n\ge 0}a_n*z^n. [/mm]

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe

[mm] \summe_{n\ge 0}(a_n)^5*z^n. [/mm]

zu a)
Hier habe ich Konvergenzradius 1 erhalten.
Und zwar wegen

[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_n+1}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{n}{n+1})^5| [/mm] = 1.

Stimmt das?

zu b)

Hier habe ich wieder benötigt:

[mm] R_1=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a_n)^5}{(a_n+1)^5}| [/mm]  = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{a_n}{a_n+1})^5| [/mm] =  [mm] |R^5|. [/mm]
Stimmt das?

        
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Di 18.08.2009
Autor: felixf

Hallo!

> a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
>  
> [mm]\summe_{n\ge 0}n^5*z^n.[/mm]
>  
> b) Sei 0 < R < [mm]\infty[/mm] der Konvergenzradius der Reihe
>
> [mm]\summe_{n\ge 0}a_n*z^n.[/mm]
>  
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
>
> [mm]\summe_{n\ge 0}(a_n)^5*z^n.[/mm]
>
>  zu a)
>  Hier habe ich Konvergenzradius 1 erhalten.
>  Und zwar wegen
>  
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_n+1}|[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{n}{n+1})^5|[/mm] = 1.
>  
> Stimmt das?

Ja.

> Hier habe ich wieder benötigt:
>  
> [mm]R_1=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{(a_n)^5}{(a_n+1)^5}|[/mm]
>  = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|(\bruch{a_n}{a_n+1})^5|[/mm] =  
> [mm]|R^5|.[/mm]
>  Stimmt das?

Warum sollte [mm] $|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|$ [/mm] ueberhaupt definiert sein (also [mm] $a_{n+1} \neq [/mm] 0$ fuer alle $n$)? Und falls doch, warum sollte das konvergieren?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Di 18.08.2009
Autor: jokerose


> Warum sollte [mm]|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] ueberhaupt definiert
> sein (also [mm]a_{n+1} \neq 0[/mm] fuer alle [mm]n[/mm])? Und falls doch,
> warum sollte das konvergieren?

Es steht ja, dass 0 < R < [mm] \infty [/mm] der Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_{n\ge0}a_n*z^n [/mm] ist.

Also habe ich gedacht, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}| [/mm] = R ist. Oder nicht?



Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Di 18.08.2009
Autor: fred97


>
> > Warum sollte [mm]|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] ueberhaupt definiert
> > sein (also [mm]a_{n+1} \neq 0[/mm] fuer alle [mm]n[/mm])? Und falls doch,
> > warum sollte das konvergieren?
>  
> Es steht ja, dass 0 < R < [mm]\infty[/mm] der Konvergenzradius der
> Reihe [mm]\summe_{n\ge0}a_n*z^n[/mm] ist.
>  
> Also habe ich gedacht, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] = R ist.
> Oder nicht?



So geht das nicht.

Es gilt (nicht mehr und nicht weniger): sind fast alle [mm] a_n \not= [/mm] 0 und ex. der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|[/mm] , so ist dieser Grenzwert = Konvergenzradius.

Versuchs mal mit der Formel von Cauchy - Hadamard.

FRED

>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Di 18.08.2009
Autor: jokerose


> Versuchs mal mit der Formel von Cauchy - Hadamard.

[mm] R_1 [/mm] = [mm] (limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n^5|})^{-1} [/mm] = [mm] ((limsup_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{|a_n|})^{-1})^5 [/mm] = [mm] R^5. [/mm]

Kann ich so argumentieren?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:52 Di 18.08.2009
Autor: fred97

Ja

FRED

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