www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenzradius bestimmen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius bestimmen
Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzradius bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Do 23.06.2011
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.

[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}$ [/mm]

Ich hab mal folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu bestimmen:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|$ [/mm]

Dann komm ich auf folgende Form:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|$ [/mm]

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|$ [/mm]

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|$ [/mm]

Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm] $n^4$ [/mm]

und erhalte als Grenzwert $x$

Heißt das nun, wenn
1)
$x=0$ [mm] \rightarrow [/mm] $R = [mm] \infty$ [/mm]

2)
[mm] $x\not=0$ \rightarrow [/mm] $R = 0$

Stimmt das so?

Wie bestimme ich, wo die Funktion differenzierbar ist?

Etwa mit [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] ?

Lg


        
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:41 Do 23.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo dreamweaver,


> Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die
> Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}[/mm]
>  Ich hab mal
> folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu
> bestimmen:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]

Kannst du natürlich machen, aber für Potenzreihen gibt es doch eigene Kriterien, die die Sache etwas verkürzen ...

>  
> Dann komm ich auf folgende Form:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|[/mm]
>  
> Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm]n^4[/mm]
>  
> und erhalte als Grenzwert [mm]x[/mm]

Na, genauer doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}=|x|\cdot{}1=|x|$ [/mm] !!

Und gem. Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für $|x|<1$ und divergiert für $|x|>1$

Der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe ist also [mm] $\rho=1$ [/mm]

Innerhalb ihres Konvergenzbereiches, also für [mm] $x\in(-1,1)$ [/mm] ist die Reihe differenzierbar.

Untersuche noch, wie es an den Randstellen $|x|=1$, also für [mm] $x=\pm [/mm] 1$ aussieht.

Da könnte die Reihe noch konvergent sein und damit einseitig diffbar ...

>  
> Heißt das nun, wenn
> 1)
>  [mm]x=0[/mm] [mm]\rightarrow[/mm]  [mm]R = \infty[/mm]
>  
> 2)
>  [mm]x\not=0[/mm] [mm]\rightarrow[/mm]  [mm]R = 0[/mm]
>
> Stimmt das so?
>  
> Wie bestimme ich, wo die Funktion differenzierbar ist?
>  
> Etwa mit [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] ?
>  
> Lg
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:03 Do 23.06.2011
Autor: dreamweaver

Danke für deine Hilfe!

> > Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die
> > Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.
>  >  
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}[/mm]
>  >  Ich hab
> mal
> > folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu
> > bestimmen:
>  >  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]
>  
> Kannst du natürlich machen, aber für Potenzreihen gibt es
> doch eigene Kriterien, die die Sache etwas verkürzen ...
>  
> >  

> > Dann komm ich auf folgende Form:
>  >  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|[/mm]
>  
> >  

> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|[/mm]
>  
> >  

> > Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm]n^4[/mm]
>  >  
> > und erhalte als Grenzwert [mm]x[/mm]
>  
> Na, genauer doch
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}=|x|\cdot{}1=|x|[/mm]
> !!
>  
> Und gem. Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für [mm]|x|<1[/mm]
> und divergiert für [mm]|x|>1[/mm]
>  
> Der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe ist also
> [mm]\rho=1[/mm]
>  
> Innerhalb ihres Konvergenzbereiches, also für [mm]x\in(-1,1)[/mm]
> ist die Reihe differenzierbar.
>  
> Untersuche noch, wie es an den Randstellen [mm]|x|=1[/mm], also für
> [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht.
>  
> Da könnte die Reihe noch konvergent sein und damit
> einseitig diffbar ...

Also für $x = +1$ ist die Reihe absolut konvergent.
Und laut Konvergenzkriterium von Leibnitz ist die Reihe auch für $x = -1$ konvergent.

Das heißt, die Funktion ist im Bereich $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ differenzierbar und der
Konvergenzradius $R = 1$?

In meinem Skriptum wird beim Konvergenzradius nur zwischen [mm] $R=\infty$ [/mm] und $R=0$ unterschieden. Oder ist das wieder etwas anderes?

Lg

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 Do 23.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Danke für deine Hilfe!
>  
> > > Geben Sie den Konvergenzradius an und bestimmen Sie wo die
> > > Funktion differenzierbar ist und weshalb sie das ist.
>  >  >  
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n^4+n^2}[/mm]
>  >  >  Ich
> hab
> > mal
> > > folgenden Ansatz gemacht um den Konvergenzradius zu
> > > bestimmen:
>  >  >  
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]
>  >  
> > Kannst du natürlich machen, aber für Potenzreihen gibt es
> > doch eigene Kriterien, die die Sache etwas verkürzen ...
>  >  
> > >  

> > > Dann komm ich auf folgende Form:
>  >  >  
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4 + (n+1)^2}}{\bruch{x^n}{n^4+n^2}}|[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}|[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{xn^4+xn^2}{n^4+4n^3+6n^2+4n+1}|[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Jetzt dividiere ich Zähler und Nenner durch [mm]n^4[/mm]
>  >  >  
> > > und erhalte als Grenzwert [mm]x[/mm]
>  >  
> > Na, genauer doch
> >
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4+n^2}{(n+1)^4+(n+1)^2}=|x|\cdot{}1=|x|[/mm]
> > !!
>  >  
> > Und gem. Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für [mm]|x|<1[/mm]
> > und divergiert für [mm]|x|>1[/mm]
>  >  
> > Der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe ist also
> > [mm]\rho=1[/mm]
>  >  
> > Innerhalb ihres Konvergenzbereiches, also für [mm]x\in(-1,1)[/mm]
> > ist die Reihe differenzierbar.
>  >  
> > Untersuche noch, wie es an den Randstellen [mm]|x|=1[/mm], also für
> > [mm]x=\pm 1[/mm] aussieht.
>  >  
> > Da könnte die Reihe noch konvergent sein und damit
> > einseitig diffbar ...
>  
> Also für [mm]x = +1[/mm] ist die Reihe absolut konvergent.
>  Und laut Konvergenzkriterium von Leibnitz

Leibniz - ohne "t" !

> ist die Reihe
> auch für [mm]x = -1[/mm] konvergent. [ok]
>  
> Das heißt, die Funktion ist im Bereich [mm]x \in [-1,1][/mm]
> differenzierbar

Zumindest konvergent, im Inneren diffbar und am Rand einseitig diffbar ...

> und der
> Konvergenzradius [mm]R = 1[/mm]?

Ja, das ist er auch ohne Randpunkte ;-)

>  
> In meinem Skriptum wird beim Konvergenzradius nur zwischen
> [mm]R=\infty[/mm] und [mm]R=0[/mm] unterschieden.

Da steht sicher etwas wie: "Der K-radius einer Potenzreihe ist [mm]R\in[0,\infty][/mm]", soll heißen, er ist nicht negativ, kann aber auch [mm]\infty[/mm] sein ...

> Oder ist das wieder etwas
> anderes?

Keine Ahnung, hast du wohl falsch im Kopf, schlag mal lieber nach ...

[gutenacht]

schachuzipus

>  
> Lg


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:23 Do 23.06.2011
Autor: dreamweaver

Ich danke dir!

Muss wohl so sein, werds nochmal nachschlagen.

Lg

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]