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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 12.08.2013 | | Autor: | Janide |
| Aufgabe | | Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{(n-1)!} z^n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Unser Professor meinte, dass diese Reihe auf ganz [mm] \IC [/mm] konvergiert. Ich wollte dies nun nachprüfen und habe folgende Formel zur Bestimmung des Konvergenzradius verwendet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] Der Kehrwert davon ist dann der Radius.
In meinem Beispiel sieht das dann so aus: [mm] |\bruch{\bruch{1}{(n+1-1)!}}{\bruch{1}{(n-1)!}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(n-1)!}{n!}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{n}|
[/mm]
Für n gegen [mm] \infty [/mm] geht das gegen 0 und der Konvergenzradius davon ist der Kehrwert, also [mm] \infty. [/mm] (Stimmt das bis hierhin?)
Nun meine Frage: Man kann den Konvergenzradius ja auch alternativ nach Cauchy-Hadamard wie folgt berechnen:
Kehrwert von [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}.
[/mm]
Wende ich diese Formel auf mein Beispiel an, weiß ich nicht wie ich zu dem selben Ergebnis komme, also wie ich auf den Konvergenzradius [mm] \infty [/mm] komme.
Ich erhalte ja [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{(n-1)!}}. [/mm] Für n gegen Unendlich müsste das ja gegen Null gehen, damit ich den Komvergenzradius [mm] \infty [/mm] erhalte. Aber ich tu mich immer schwer damit, die Konvergenz von Folgen zu prüfen. Welches Konvergenzkriterium klappt hier, um zu zeigen, dass diese Folge gegen Null geht?
Wäre sehr dankbar für Eure Hilfe!
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Hallo,
> Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{(n-1)!} z^n[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> Unser Professor meinte, dass diese Reihe auf ganz [mm]\IC[/mm]
> konvergiert. Ich wollte dies nun nachprüfen und habe
> folgende Formel zur Bestimmung des Konvergenzradius
> verwendet:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] Der
> Kehrwert davon ist dann der Radius.
>
> In meinem Beispiel sieht das dann so aus:
> [mm]|\bruch{\bruch{1}{(n+1-1)!}}{\bruch{1}{(n-1)!}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{(n-1)!}{n!}|[/mm] = [mm]|\bruch{1}{n}|[/mm]
>
> Für n gegen [mm]\infty[/mm] geht das gegen 0 und der
> Konvergenzradius davon ist der Kehrwert, also [mm]\infty.[/mm]
> (Stimmt das bis hierhin?)
Ja, das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es gibt jedoch, keinerlei Notwendigkeit, weshalb man nicht gleich
[mm]r= \lim_{n\rightarrow\infty} \left\vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\vert[/mm]
rechnen könnte.
>
> Nun meine Frage: Man kann den Konvergenzradius ja auch
> alternativ nach Cauchy-Hadamard wie folgt berechnen:
>
> Kehrwert von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> [mm]\wurzel[n]{|a_n|}.[/mm]
>
> Wende ich diese Formel auf mein Beispiel an, weiß ich
> nicht wie ich zu dem selben Ergebnis komme, also wie ich
> auf den Konvergenzradius [mm]\infty[/mm] komme.
>
> Ich erhalte ja [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{(n-1)!}}.[/mm] Für n gegen
> Unendlich müsste das ja gegen Null gehen, damit ich den
> Komvergenzradius [mm]\infty[/mm] erhalte. Aber ich tu mich immer
> schwer damit, die Konvergenz von Folgen zu prüfen. Welches
> Konvergenzkriterium klappt hier, um zu zeigen, dass diese
> Folge gegen Null geht?
Untersuche ersatzweise die Folge
[mm] b_n=\wurzel[n]{n!}
[/mm]
auf Divergenz. Das ist nicht ganz so einfach wie es aussieht. Mir würde spontan einfallen, das ganze zu logarithmieren und den Logarithmus nach unten abzuschätzen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Sa 17.08.2013 | | Autor: | Janide |
Vielen Dank für den Tipp mit [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Sa 17.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe
> > [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{(n-1)!} z^n[/mm]
> > Ich
> habe
> > diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> > gestellt.
> >
> > Unser Professor meinte, dass diese Reihe auf ganz [mm]\IC[/mm]
> > konvergiert. Ich wollte dies nun nachprüfen und habe
> > folgende Formel zur Bestimmung des Konvergenzradius
> > verwendet:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] Der
> > Kehrwert davon ist dann der Radius.
> >
> > In meinem Beispiel sieht das dann so aus:
> > [mm]|\bruch{\bruch{1}{(n+1-1)!}}{\bruch{1}{(n-1)!}}|[/mm] =
> > [mm]|\bruch{(n-1)!}{n!}|[/mm] = [mm]|\bruch{1}{n}|[/mm]
> >
> > Für n gegen [mm]\infty[/mm] geht das gegen 0 und der
> > Konvergenzradius davon ist der Kehrwert, also [mm]\infty.[/mm]
> > (Stimmt das bis hierhin?)
>
> Ja, das passt.
>
> Es gibt jedoch, keinerlei Notwendigkeit, weshalb man nicht
> gleich
>
> [mm]r= \lim_{n\rightarrow\infty} \left\vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\vert[/mm]
>
> rechnen könnte.
>
> >
> > Nun meine Frage: Man kann den Konvergenzradius ja auch
> > alternativ nach Cauchy-Hadamard wie folgt berechnen:
> >
> > Kehrwert von [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup
> > [mm]\wurzel[n]{|a_n|}.[/mm]
> >
> > Wende ich diese Formel auf mein Beispiel an, weiß ich
> > nicht wie ich zu dem selben Ergebnis komme, also wie
> ich
> > auf den Konvergenzradius [mm]\infty[/mm] komme.
> >
> > Ich erhalte ja [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{(n-1)!}}.[/mm] Für n
> gegen
> > Unendlich müsste das ja gegen Null gehen, damit ich
> den
> > Komvergenzradius [mm]\infty[/mm] erhalte. Aber ich tu mich immer
> > schwer damit, die Konvergenz von Folgen zu prüfen.
> Welches
> > Konvergenzkriterium klappt hier, um zu zeigen, dass
> diese
> > Folge gegen Null geht?
>
> Untersuche ersatzweise die Folge
>
> [mm]b_n=\wurzel[n]{n!}[/mm]
ich würde hier tatsächlich einfach mal in den Beweis des QK gucken. Mein
Prof. hatte diesbezüglich in
![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 6.20
eine schöne Folgerung stehen, so dass man damit direkt etwas über
[mm] ${(b_n)}_n$ [/mm] aussagen kann.
(Edit: Die Bemerkung müßte man eher auf [mm] ${(1/n!)}_n$ [/mm] anwenden!)
P.S. Natürlich wäre es dann auch sinnvoll, diese Bemerkung hier direkt
bzgl. der anfangs gestellten Frage zu verwenden!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Mo 19.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgender
SATZ: Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] mit [mm] a_n>0 [/mm] für alle n, ist [mm] q_n:= \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] und ist [mm] (q_n) [/mm] beschränkt, so gilt für die Folge [mm] (w_n), w_n:=\wurzel[n]{a_n}:
[/mm]
[mm] (w_n) [/mm] ist beschränkt und
lim inf [mm] q_n \le [/mm] lim inf [mm] w_n \le [/mm] lim sup [mm] w_n \le [/mm] lim sup [mm] q_n.
[/mm]
Ist nun [mm] a_n=\bruch{1}{n!}, [/mm] so folgt aus diesem Satz: [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n!}} \to [/mm] 0.
FRED
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