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Konvergenzradius hyperb. Fkt.: hilfestellung zur lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Do 19.11.2009
Autor: darkrain

hallo nochmal an alle,

also der konvergenzradius soll für diese hyperbolischen funktionen ausgerechnet werden:

sin h (x)=  [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^2^n^+^1}{(2n+1)!} [/mm]

cos h (x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^2^m}{(2m)!} [/mm]

so , ich weiß dass die beiden sin h (x) und cos h (x) exp (x) ergeben.

ich weiß nicht, wie ich hier am besten anfangen soll :-(

lieben gruß


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzradius hyperb. Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Do 19.11.2009
Autor: fred97

Nehmen wir uns mal den cosh vor. Klar ist, dass die zugeh. Potenzreihe für x=0 konv.

Für x [mm] \not= [/mm] 0 setze [mm] a_n:= \bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm]

überzeuge Dich davon, dass  [mm] $|\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \to [/mm] 0  (für n [mm] \to \infty) [/mm]

Was sagt das Quotientenkriterium dazu ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius hyperb. Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Do 19.11.2009
Autor: darkrain

wenn ich das quotientenkriterum anwende habe ich stehen:

...  = [mm] \bruch{(2n) ! * x^2^n^+^1 }{x^2^n * (2(n+1))!} [/mm]
     =  [mm] \bruch{(2n) ! * x^1 }{(2(n+1))!} [/mm]
     = [mm] \bruch{(2n) ! * x^1 }{(2n+2)!} [/mm]

jetzt habe ich etwas probleme mit dem kuerzen....
      =  [mm] \bruch{ x^}{(2n+2)} [/mm]

darf ich in dem fall ueberhaupt (2n)! und (2n+1)! kuerzen ?



Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius hyperb. Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Do 19.11.2009
Autor: fred97


> wenn ich das quotientenkriterum anwende habe ich stehen:
>  
> ...  = [mm]\bruch{(2n) ! * x^2^n^+^1 }{x^2^n * (2(n+1))!}[/mm]
>      
> =  [mm]\bruch{(2n) ! * x^1 }{(2(n+1))!}[/mm]
> = [mm]\bruch{(2n) ! * x^1 }{(2n+2)!}[/mm]
>  
> jetzt habe ich etwas probleme mit dem kuerzen....

Das merke ich


> =  [mm]\bruch{ x^}{(2n+2)}[/mm]

Wenn Du richtig kürzt bleibt

            
[mm]\bruch{ x^2}{(2n+1)(2n+2)}[/mm]


FRED


>  
> darf ich in dem fall ueberhaupt (2n)! und (2n+1)! kuerzen
> ?
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius hyperb. Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Do 19.11.2009
Autor: darkrain

okay, dann habe ich raus :

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{4n^2 + 6n + 2} [/mm] =da der untere Term gegen unendlich geht, geht der gesamte term gegen 0,

aber es sollte doch unendlich raus kommen ? :

aber du hattest gesagt:


Ist p = 0, so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe =  [mm] \infty. [/mm]

also muesste es stimmen :)

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius hyperb. Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Do 19.11.2009
Autor: fred97


> okay, dann habe ich raus :
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{4n^2 + 6n + 2}[/mm] =da
> der untere Term gegen unendlich geht, geht der gesamte term
> gegen 0,


Was sagt das Quotientenkriterium dazu ?

FRED


>  
> aber es sollte doch unendlich raus kommen ? :
>  
> aber du hattest gesagt:
>  
>
> Ist p = 0, so ist der Konvergenzradius der Potenzreihe =  
> [mm]\infty.[/mm]
>
> also muesste es stimmen :)


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius hyperb. Fkt.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:34 Do 19.11.2009
Autor: darkrain

ist das nun falsch ?

das q. kriterium sagt aus, dass die folge bei <1 konvergiert und bei >1 divergiert .

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius hyperb. Fkt.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Do 19.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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