Konvergenzradius/konv/Grenzw. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mo 04.02.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | a)
für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} e^{-nx^{2}}
[/mm]
und für welche nicht?
bestimmen sie im fall der konvergenz den grenzwert
b)
konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{2i}{4+5i} )^{n}
[/mm]
berechnen sie gegebenenfalls den grenzwert
c)
bestimmen sie den konvergenzradius der folgenden potenzreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^{n}}{n^{4}*(3+4i)^{n}} [/mm] |
a)
wie gehe ich es am besten an?
b)
hier habe ich das wurzelkr. angewendet
es heißt dann ja
[mm] \wurzel[n]{(\bruch{2i}{4+5i})^{n} }
[/mm]
als ergebnis bekomme ich [mm] \bruch{10}{41} [/mm] + [mm] \bruch{8}{41}i
[/mm]
und nun? ist diese zahl kleiner 1? wegen 10/41 eigentlich schon oder?
ist das auch gleichzeitig der limes?
c)
ich benutze [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^{4} (3+4i)^{n}} [/mm] und das wurzelkr. oder lieber das qkr?
das ergebnis ist [mm] \bruch{1}{3+4i}
[/mm]
nun zum konvergenzradius: [mm] \bruch{1}{limes \bruch{1}{3+4i}}
[/mm]
und dieses wäre meiner meinung nach größer 1 und deshalb konvergiert es nicht ?!?!
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mo 04.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> a)
> für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} e^{-nx^{2}}[/mm]
> und für welche nicht?
> bestimmen sie im fall der konvergenz den grenzwert
>
> b)
> konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{2i}{4+5i} )^{n}[/mm]
> berechnen
> sie gegebenenfalls den grenzwert
>
> c)
> bestimmen sie den konvergenzradius der folgenden
> potenzreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^{n}}{n^{4}*(3+4i)^{n}}[/mm]
> a)
> wie gehe ich es am besten an?
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} e^{-nx^{2}} [/mm] $= $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (e^{-x^2})^n [/mm] $= $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^n [/mm] $ mit [mm] q=e^{-x^2}
[/mm]
geometrische Reihe !!!
>
> b)
> hier habe ich das wurzelkr. angewendet
> es heißt dann ja
> [mm]\wurzel[n]{(\bruch{2i}{4+5i})^{n} }[/mm]
> als ergebnis bekomme
> ich [mm]\bruch{10}{41}[/mm] + [mm]\bruch{8}{41}i[/mm]
> und nun? ist diese zahl kleiner 1? wegen 10/41 eigentlich
> schon oder?
> ist das auch gleichzeitig der limes?
Das ist ja furchtbar !
1. Ist Dir aufgefallen, dass es in der Mathematik auch den Betrag gibt ? Schau Dir die Konvergenzkriterien unter diesem Aspekt nochmal an.
2. Auf [mm] \IC [/mm] haben wir keine Ordnung !
3.
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{2i}{4+5i} )^{n} [/mm] $=
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^{n} [/mm] $ mit q= [mm] \bruch{2i}{4+5i}
[/mm]
geometrische Reihe !
>
> c)
> ich benutze [mm]a_{k}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^{4} (3+4i)^{n}}[/mm] und das
> wurzelkr. oder lieber das qkr?
beides geht
> das ergebnis ist [mm]\bruch{1}{3+4i}[/mm]
> nun zum konvergenzradius: [mm]\bruch{1}{limes \bruch{1}{3+4i}}[/mm]
>
> und dieses wäre meiner meinung nach größer 1
Unsinn !
[mm] \wurzel{|a_n|} \to [/mm] $ [mm] \bruch{1}{|3+4i|} [/mm] = ???$
FRED
> und deshalb
> konvergiert es nicht ?!?!
>
>
> danke
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