Konvergenzradius und Reihenwer < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
| Aufgabe | a) Für welche x [mm] \in \mathbb [/mm] R konvergiert [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(1-x)^n}? [/mm] Berechnen Sie ggf den Reihenwert.
b) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die die unendliche Reihe [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{4*(n+1)}}{(1+x^4)^n} [/mm] konvergiert und berechnen Sie die Reihensumme.
c) Für welche x [mm] \in \mathbb [/mm] R konvergiert [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}} [/mm] ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe mir zu a) gedacht, dass ich das Wurzelkriterium anwende und dann gucke für welche x die Folge [mm] a_n [/mm] <1 ist.
[mm] a_n=\left( \frac{x}{1-x}\right)^n
[/mm]
[mm] \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{x}{1-x}
[/mm]
[mm] \frac{x}{1-x} [/mm] ist für alle [mm] x<\frac{1}{2} [/mm] und x>1 kleiner als 1.
Konvergiert dann also die Reihe für diese x ?
|
|
| |
|
Hallo,
> a) Für welche x [mm]\in \mathbb[/mm] R konvergiert
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(1-x)^n}?[/mm] Berechnen Sie
> ggf den Reihenwert.
> b) Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die die
> unendliche Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{4*(n+1)}}{(1+x^4)^n}[/mm]
> konvergiert und berechnen Sie die Reihensumme.
> c) Für welche x [mm]\in \mathbb[/mm] R konvergiert
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}}[/mm] ?
> ich habe mir zu a) gedacht, dass ich das Wurzelkriterium
> anwende
Gute Idee!
> und dann gucke für welche x die Folge [mm]a_n[/mm] <1 ist.
Das hast du etwas komisch aufgeschrieben.
Das Wurzelkriterium sagt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] < 1$ [mm] \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] > 1$ [mm] \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] divergiert.
> [mm]a_n=\left( \frac{x}{1-x}\right)^n[/mm]
>
> [mm]%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Ca_n%7C%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-x%7D[/mm]
Das ist fast richtig. Du musst die Beträge beachten.
[mm] $\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \left|\frac{x}{1-x}\right|$
[/mm]
Weil dieser Term nicht mehr von n abhängt, ist auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] = [mm] \left|\frac{x}{1-x}\right|$.
[/mm]
BEACHTE: Die ganze Argumentation funktioniert nur für x [mm] \not= [/mm] 1, denn für x = 1 ist die Reihe gar nicht definiert (und konvergiert da logischweise auch nicht).
> [mm]\frac{x}{1-x}[/mm] ist für alle [mm]x<\frac{1}{2}[/mm] und x>1 kleiner
> als 1.
> Konvergiert dann also die Reihe für diese x ?
Das ist dann sozusagen folgefalsch.
[mm] $\left|\frac{x}{1-x}\right|<1$ [/mm] gilt genau für $x < [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Du weißt nun also bereits, dass die Reihe für diese x konvergiert.
Außerdem sagt das Wurzelkriterium, dass für
[mm] $\left|\frac{x}{1-x}\right|>1$, [/mm] d.h. für [mm] $\frac{1}{2} [/mm] < x < 1$ und $x > 1$.
die Reihe divergiert.
-----
Der wichtige Punkt ist: Du bist noch NICHT fertig, wenn du die Stellen x gefunden hast, wo die Reihe laut Wurzelkriterium konvergiert.
Das Wurzelkriterium liefert zunächst nur: Bei diesen Stellen x<1/2 konvergiert die Reihe. Es sagt nichts darüber aus, ob die Reihe bei den [mm] x\ge [/mm] 1/2 NICHT konvergiert. Daher musst du auch überlegen, was die Reihe bei den Stellen $x [mm] \ge [/mm] 1/2$ macht.
Praktischerweise liefert das Wurzelkriterium auch einen Nachweis für die Divergenz der Reihe (siehe oben).
Du musst nun die Reihe also nur noch an der Stelle $x = 1/2$ untersuchen. Darüber hat das Wurzelkriterium gar keine Aussage gemacht. Setze dazu x = 1/2 in die Reihe ein und untersuche mit anderen Kriterien die Konvergenz.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Danke für die Hilfe, hat mir echt weiter geholfen.
Wenn ich für [mm] x=\frac{1}{2} [/mm] einsetze, dann erhalte ich ja die Reihe:
[mm] \sum\limits_{n=0}^\infty 1^n [/mm] . Es ist zwar offensichtlich, dass die Reihe divergiert, aber ich weiß nicht, wie ich das nachweisen kann. Außerdem soll ich ja noch den Reihenwert bestimmen und da weiß ich ebenfalls nicht weiter.
Gruß
medphys
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Ich habe mir gerade nochmal das Wurzelkriterium angeschaut und da stand, dass für [mm] \srqt[n]{|a_n|}\ge [/mm] die Reihe konvergiert und damit müsste ich den Sonderfall x= 0,5 nich extra betrachten.
Gruß
medphys
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe mir gerade nochmal das Wurzelkriterium angeschaut
> und da stand, dass für [mm]\srqt[n]{|a_n|}\ge[/mm]
Leider fehlt hier der entscheidende Teil, so dass ich nicht sehe, was bei euch im Skript stand.
> die Reihe
> konvergiert und damit müsste ich den Sonderfall x= 0,5
> nich extra betrachten.
Nein, du musst diesen Fall betrachten. Das Wurzelkriterium sagt darüber nichts aus.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Da habe ich mich wohl ein bisschen vertippt.
Ich habe mir das Wurzelkriterium in einem Buch angeschaut und da steht:
Gilt für [mm] n\ge n_0 [/mm] stets [mm] \sqrt[n]{|a_n|}\le [/mm] q mit q<1, so konvergiert [mm] \sum\limits_{n=1}^\infty a_n [/mm] absolut.
Gilt für [mm] n\ge n_0 [/mm] stets [mm] \sqrt[n]{|a_n|}\ge [/mm] 1, so divergiert [mm] \sum\limits_{n=1}^\infty a_n
[/mm]
Gruß
medphys
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Da habe ich mich wohl ein bisschen vertippt.
> Ich habe mir das Wurzelkriterium in einem Buch angeschaut
> und da steht:
> Gilt für [mm]n\ge n_0[/mm] stets [mm]\sqrt[n]{|a_n|}\le[/mm] q mit q<1, so
> konvergiert [mm]\sum\limits_{n=1}^\infty a_n[/mm] absolut.
> Gilt für [mm]n\ge n_0[/mm] stets [mm]\sqrt[n]{|a_n|}\ge[/mm] 1, so
> divergiert [mm]\sum\limits_{n=1}^\infty a_n[/mm]
Stimmt, dieses Kriterium gilt natürlich. Sorry.
Nur mit der Limes-Formulierung muss da ein > 1 da stehen.
Da hier aber eine konstante Folge vorliegt, und diese dann = 1 ist, ist natürlich das Kriterium oben anwendbar.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke für die Hilfe, hat mir echt weiter geholfen.
> Wenn ich für [mm]x=\frac{1}{2}[/mm] einsetze, dann erhalte ich ja
> die Reihe:
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty 1^n[/mm] . Es ist zwar offensichtlich,
> dass die Reihe divergiert,
Das ist richtig.
> aber ich weiß nicht, wie ich
> das nachweisen kann.
Mit dem sehr wichtigen Trivial-Kriterium:
Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] ist konvergent [mm] \Rightarrow (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
Bei dir ist dann [mm] a_n [/mm] = 1 und offensichtlich keine Nullfolge.
> Außerdem soll ich ja noch den
> Reihenwert bestimmen und da weiß ich ebenfalls nicht
> weiter.
Nun, deine Reihe ist eine geometrische Reihe von der Form [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}q^{n}$ [/mm] mit $q = [mm] \frac{x}{1-x}$.
[/mm]
Damit hättest du übrigens auch die erste Aufgabe lösen können, wo es um den Konvergenzbereich ging: Eine geometrische Reihe konvergiert genau für $|q| < 1$. (d.h. für $|q| [mm] \ge [/mm] 1$ ist sie divergent). In einer Klausur solltest du daher auch sofort erkennen, dass hier eine geometrische Reihe vorliegt und nicht erst das Wurzelkriterium auspacken 
Für eine geometrische Reihe gilt die wichtige Formel [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}q^{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Danke für den Tipp! Wäre in einer Klausur echt wichtig wegen der Zeit.
Bei der nächsten Reihe habe ich dann das Quotientenkriterum angewendet
[mm] \sum\limts_{n=0}^\infty \frac{x^{4(n+1)}}{(1+x^4)^n} [/mm] dabei ist [mm] a_n=\frac{x^{4(n+1)}}{(1+x^4)^n} [/mm] und
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{x^{4(n+2)}*(1+x^4)^n}{x^{4(n+1)}*(1+x^4)^{n+1}}|=|\frac{x^4}{1+x^4}|
[/mm]
--> [mm] |\frac{x^4}{1+x^4}|<1 [/mm] gilt für alle x [mm] \in \mathbb [/mm] R oder? Was ist in diesem Fall mit Reihensumme gemeint?
Gruß
medphys
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Danke für den Tipp! Wäre in einer Klausur echt wichtig
> wegen der Zeit.
> Bei der nächsten Reihe habe ich dann das
> Quotientenkriterum angewendet
> [mm]\sum\limts_{n=0}^\infty \frac{x^{4(n+1)}}{(1+x^4)^n}[/mm] dabei
> ist [mm]a_n=\frac{x^{4(n+1)}}{(1+x^4)^n}[/mm] und
>
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{x^{4(n+2)}*(1+x^4)^n}{x^{4(n+1)}*(1+x^4)^{n+1}}|=|\frac{x^4}{1+x^4}|[/mm]
> --> [mm]|\frac{x^4}{1+x^4}|<1[/mm] gilt für alle x [mm]\in \mathbb[/mm] R
> oder?
Ja, das ist alles richtig.
> Was ist in diesem Fall mit Reihensumme gemeint?
Nun, du hast übersehen, dass es sich auch hier um eine geometrische Reihe handelt.
[mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4(n+1)}}{(1+x^4)^n} [/mm] = [mm] x^{4}*\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x^{4}}{(1+x^4)}\right)^n$
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Das freut mich ja schonmal, dass das richtig war .
Also ist dann die Reihensumme:
[mm] x^4\cdot \frac{1}{1-\frac{x^4}{1+x^4}}=x^4\cdot(1+x^4) [/mm] ?
Zu der letzten Reihe in Aufgabenteil c) habe ich übrigens keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll -.-
Gruß
medphys
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Das freut mich ja schonmal, dass das richtig war .
> Also ist dann die Reihensumme:
> [mm]x^4\cdot \frac{1}{1-\frac{x^4}{1+x^4}}=x^4\cdot(1+x^4)[/mm] ?
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Zu der letzten Reihe in Aufgabenteil c) habe ich übrigens
> keine Ahnung, wie ich überhaupt anfangen soll -.-
Wieso nicht? Du hast doch nur ganz wenige Kriterien. Einfach mal eins ausprobieren!
Zum Beispiel Quotientenkriterium.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Okay ich hab eine Lösung, ich hoffe mal sie stimmt auch.
[mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{e^{-2(n+1)x}\cdot (1+e^{-nx})}{e^{-2nx}\cdot(1+e^{-(n+1)x})}|=|\frac{e^{-2x}\cdot(1+e^{-nx})}{1+e^{-nx}*e^{-x}}|
[/mm]
--> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|e^{-2x}|
[/mm]
und [mm] |e^{-2x}|>1 \gdw [/mm] x>0
Gruß
medphys
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay ich hab eine Lösung, ich hoffe mal sie stimmt auch.
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|\frac{e^{-2(n+1)x}\cdot (1+e^{-nx})}{e^{-2nx}\cdot(1+e^{-(n+1)x})}|=|\frac{e^{-2x}\cdot(1+e^{-nx})}{1+\red{e^{-nx}*e^{-x}}}|[/mm]
Der letzte Term muss aber
[mm] $|\frac{e^{-2x}\cdot(1+e^{-nx})}{1+\red{e^{-(n+1)*x}}}|$
[/mm]
lauten.
> -->
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=|e^{-2x}|[/mm]
Der Limes ist richtig.
> und [mm]|e^{-2x}|>1 \gdw[/mm] x>0
Nanana!
Nicht auf der Zielgeraden noch Murks machen
[mm] e^{-2x} [/mm] < 1 [mm] \gdw [/mm] x > 0.
Also Konvergenz für x > 0, und Divergenz für x < 0.
Jetzt noch schnell den Fall x = 0 untersuchen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Sind die beiden Terme nicht gleich?
[mm] e^{-(n+1)x}=e^{-nx-x}=e^{-nx}*e^{-x}
[/mm]
Das war der Teil im Nenner um den sich mein Term und deiner unterschieden haben.
Dann habe ich da wohl die Zeichen ein wenig vertauscht.
Für den Fall x=0 habe ich:
[mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2} [/mm] --> Die Reihe [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}} [/mm] konvergiert für alle [mm] x\ge [/mm] 0
Gruß
medphys
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Sind die beiden Terme nicht gleich?
> [mm]e^{-(n+1)x}=e^{-nx-x}=e^{-nx}*e^{-x}[/mm]
> Das war der Teil im Nenner um den sich mein Term und
> deiner unterschieden haben.
Du hast recht, ich geh lieber bald ins Bett 
> Dann habe ich da wohl die Zeichen ein wenig vertauscht.
> Für den Fall x=0 habe ich:
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{2}[/mm]
Diese Reihe ist divergent!
> --> Die Reihe
> [mm]\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{e^{-2nx}}{1+e^{-nx}}[/mm]
> konvergiert für alle [mm]x\ge[/mm] 0
Nein, für x > 0. Für x = 0 ist sie ja divergent.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Sa 20.04.2013 | | Autor: | medphys |
Okay, dann habe ich soweit alles verstanden
Danke für deine Hilfe bei der Aufgabe!
Viele Grüße
medphys
|
|
|
|
