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| Aufgabe | Untersuchen sie die Zahlenfolge auf Konvergenz
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{4n}}{(3n)^{4n}}$ [/mm] |
Ich wende das Wurzelkriterium an und komme damit auf
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{4n}}{(3n)^{4n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)}{3n}$
[/mm]
der Grenzübergang bringt dann
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{n(1+\frac{1}{n})}{3n}=\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{3}<1$ [/mm] Damit ist die Reihe konvergent
ist das so richtig? oder hab ich was übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Untersuchen sie die Zahlenfolge auf Konvergenz
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{4n}}{(3n)^{4n}}[/mm]
> Ich wende das Wurzelkriterium an und komme damit auf
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^{4n}}{(3n)^{4n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)}{3n}[/mm]
> der Grenzübergang bringt dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\frac{n(1+\frac{1}{n})}{3n}=\frac{1}{3}[/mm]
> [mm]\frac{1}{3}<1[/mm] Damit ist die Reihe konvergent
>
> ist das so richtig? oder hab ich was übersehen?
Du hast schon einen Fehler in der ersten Zeile, der trotzdem zum richtigen Resultat gefuehrt hat. Loesung: Da die Folge konvergiert, duerfen wir sogar den Limes anstelle des Limes superiors betrachten:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)^{4n}}{(3n)^{4n}}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^4}{(3n)^4}=\frac{1}{81}<1$
[/mm]
Damit konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut.
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