Konvergenzverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}}
[/mm]
oder darf man Nenner und Zähler einzel betrachten???
Gruss,
Giorda
ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt. |
Hallo zusammen,
ich muss das Konvergenzverhalten dieser obengenannten Reihen prüfen.
Zur Verfügung habe ich: Leibnizkriterium, Majorantenkriterium, Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium.
Ich kann aber keines der 4 Kriterien anwenden, was mache ich falsch? Oder habe ich noch eine Umformung übersehen?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{\wurzel{(k+1}}{\wurzel[3]{k^5+k^3-1)}}
[/mm]
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Hallo,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}}[/mm]
>
bei solchen Reihen beobachtet man die überwiegenden Potenzen. Hier ist das im Zähler [mm] k^{1/2} [/mm] und im Nenner [mm] k^{5/3} [/mm]. Insgesamt verhält sich der Reihenglied im Unendlichen ungefähr wie [mm] k^{{1/2}-{5/3}} = k^{-7/2} [/mm]. Die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{a}}[/mm] konvergiert für a>1 und weil hier [mm] 7/2>1 [/mm], wird die Reihe wohl konvergieren. Das muss man nur noch exakter mit Majorantenkriterium zeigen.
Gruss Strangelet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo Strangelet,
vielen Dank für Deine prompte Antwort.
Was hälst Du nun davon:
Als Majorante setze ich: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^\bruch{7}{6}}
[/mm]
kann es sein, dass sich bei dir ein Rechenfehler eingeschlichen hat? [mm] \bruch{k^\bruch{1}{2}}{k^\bruch{5}{3}} [/mm] = [mm] k^-^\bruch{7}{6} [/mm] 
Dann habe ich:
[mm] \vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}a_{n} } [/mm] = [mm] \vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}} } \ge \vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{ \bruch{1}{k^\bruch{7}{6}} } }
[/mm]
[mm] \underbrace{\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{ \bruch{1}{k^\bruch{7}{6}} } }}_{\Rightarrowz konvergiert, da \bruch{7}{6}> 1}
[/mm]
folglich konvergiert auch die Reihe [mm] \vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}} }
[/mm]
Was hälst Du davon?
Gruss,
Giorda
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Hallo Giorda,
> Hallo Strangelet,
>
> vielen Dank für Deine prompte Antwort.
> Was hälst Du nun davon:
>
> Als Majorante setze ich:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^\bruch{7}{6}}[/mm]
Ja, genauer eine Variante davon
>
> kann es sein, dass sich bei dir ein Rechenfehler
> eingeschlichen hat? [mm]\bruch{k^\bruch{1}{2}}{k^\bruch{5}{3}}[/mm]
> = [mm]k^-^\bruch{7}{6}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann habe ich:
>
> [mm]\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}a_{n} }[/mm] = [mm]\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}} } \ge \vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{ \bruch{1}{k^\bruch{7}{6}} } }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Die Abschätzung ist doch genau in die falsche Richtung, du willst doch nach oben, also gegen eine größere Reihe abschätzen, die konvergent ist, dann bleibt deiner kleineren Ausgangsreihe nichts anderes übrig als auch konvergent zu sein, das ist ja das Prinzip des Majoranten-(=größere Reihe) kriteriums ...
Du brauchst sowas $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ \le \ ... \ \le \ M\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{7}{6}}}$
Um nach oben abzuschätzen, kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern, also
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ \le \ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+\red{k}}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}}$
Nun ist ja sicherlich $k^3-1\ge 0$ für alle $k\in\IN$, also können wir das weglassen und so den Nenner verkleinern ..
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ \le \ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt[3]{k^5}} \ = \ \sqrt{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{7}{6}}$
Das wäre dann eine konvergente Majorante, also eine konvergente größere Reihe im Vergleich zu deiner Ausgangsreihe, also ist deine Reihe auch konvergent
>
> [mm]\underbrace{\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{ \bruch{1}{k^\bruch{7}{6}} } }}_{\Rightarrowz konvergiert, da \bruch{7}{6}> 1}[/mm]
>
> folglich konvergiert auch die Reihe [mm]\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}} }[/mm]
>
> Was hälst Du davon?
Schon ganz ok, aber du musst genau mit den Richtungen, in die du abschätzen willst, aufpassen!
> Gruss,
> Giorda
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Giorda_N |
ojeoje...ja das habe ich wirklich nicht richtig angewendet...aber nun mit deiner erklärung ist es mir klar.
lieben dank sag ich nur
gruss,
giorda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 18.11.2008 | | Autor: | strangelet |
> Hallo Giorda,
>
> > Hallo Strangelet,
> >
> > vielen Dank für Deine prompte Antwort.
> > Was hälst Du nun davon:
> >
> > Als Majorante setze ich:
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^\bruch{7}{6}}[/mm]
>
> Ja, genauer eine Variante davon
>
> >
> > kann es sein, dass sich bei dir ein Rechenfehler
> > eingeschlichen hat?
> [mm]\bruch{k^\bruch{1}{2}}{k^\bruch{5}{3}}[/mm]
> > = [mm]k^-^\bruch{7}{6}[/mm]
ich gebe zu, dass ich nicht rechnen kann :)
> > Dann habe ich:
> >
> > [mm]\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}a_{n} }[/mm] = [mm]\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}} } \ge \vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{ \bruch{1}{k^\bruch{7}{6}} } }[/mm]
>
> Die Abschätzung ist doch genau in die falsche Richtung, du
> willst doch nach oben, also gegen eine größere Reihe
> abschätzen, die konvergent ist, dann bleibt deiner
> kleineren Ausgangsreihe nichts anderes übrig als auch
> konvergent zu sein, das ist ja das Prinzip des
> Majoranten-(=größere Reihe) kriteriums ...
>
>
> Du brauchst sowas
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ \le \ ... \ \le \ M\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{7}{6}}}[/mm]
>
> Um nach oben abzuschätzen, kannst du den Zähler vergrößern
> und/oder den Nenner verkleinern, also
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ \le \ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{k+\red{k}}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ = \ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}}[/mm]
>
> Nun ist ja sicherlich [mm]k^3-1\ge 0[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm], also
> können wir das weglassen und so den Nenner verkleinern ..
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt[3]{k^5+k^3-1}} \ \le \ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt{2k}}{\sqrt[3]{k^5}} \ = \ \sqrt{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{7}{6}}[/mm]
>
> Das wäre dann eine konvergente Majorante, also eine
> konvergente größere Reihe im Vergleich zu deiner
> Ausgangsreihe, also ist deine Reihe auch konvergent
>
> >
> > [mm]\underbrace{\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\vmat{ \bruch{1}{k^\bruch{7}{6}} } }}_{\Rightarrowz konvergiert, da \bruch{7}{6}> 1}[/mm]
>
> >
> > folglich konvergiert auch die Reihe [mm]\vmat{ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k+1)^\bruch{1}{2}}{(k^5+k^3-1)^\bruch{1}{3}} }[/mm]
>
> >
> > Was hälst Du davon?
>
> Schon ganz ok, aber du musst genau mit den Richtungen, in
> die du abschätzen willst, aufpassen!
ich wollte nur eine kurze mitteilung zu diesen abschätzungen schreiben, und zwar, dass diese eigentlich gar nicht nötig sind, wenn man sich die richtigkeit vom folgenden satz überlegt:
Seien [mm]a_n \ge 0, b_n \ge 0 [/mm] (für fast alle n). Sei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}=A[/mm].
Dann falls [mm] 0 < A < \infty \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty} a_n[/mm] konv. [mm] \gdw \summe_{i=1}^{\infty} b_n [/mm] konv.
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}=A[/mm] heisst nämlich
wir haben ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] und ein [mm]n_0[/mm] so dass für alle [mm]n>n_0[/mm] gilt [mm]A-\varepsilon<\bruch{a_n}{b_n}
Daraus kriegt man aber schon die für die Majorantenkriterium nötigen Abschätzungen [mm]a_n < (A+\varepsilon)*b_n [/mm] und [mm]b_n < \bruch{1}{A-\varepsilon}*a_n [/mm]
Im unseren beispiel haben wir, dass sich [mm]a_n[/mm] im unendlichen wie [mm]k^{-\bruch{7}{6}}[/mm] verhält, dass ist ja gerade
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{k^{-\bruch{7}{6}}}=1[/mm] was man meiner meinung nach einfacher zeigen kann, als abschätzungen zu suchen... und das reicht dann schon eben
falls [mm]A=0 [/mm] oder [mm] A=\infty[/mm] dann kriegt man in dem satz immer nur eine implikation (könnt raten welche :))
na ja, mfg strangelet :)
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