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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Überprüfe folgende Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz:
fn(x)= [mm] \bruch{1}{x+\bruch{x^2}{n}} [/mm] |
kann mir hier jemand weiterhelfen?
ich bin bei gleichmäßiger konvergenz gar nicht sicher. punktweise konnte ich bei dieser funktion schon nachweisen, das war nicht schwer.
könnte mir vielleicht jemand ein wenig tipps dazu geben
danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfe folgende Funktionenfolge auf gleichmäßige
> Konvergenz:
>
> fn(x)= [mm]\bruch{1}{x+\bruch{x^2}{n}}[/mm]
> kann mir hier jemand weiterhelfen?
Ja, wenn Du verrätst, wo die [mm] f_n [/mm] def. sind. Also auf welcher Teilmenge von [mm] \IR [/mm] soll die Untersuchung stattfinden ?
> ich bin bei gleichmäßiger konvergenz gar nicht sicher.
> punktweise konnte ich bei dieser funktion schon nachweisen,
Ja, und was hast Du raus ? Gegen welche Funktion konv. [mm] (f_n) [/mm] punktweise ?
Ich hoffe , Du hast raus: [mm] f_n(x) \to [/mm] 1/x für jedes x [mm] \ne [/mm] 0
> das war nicht schwer.
>
> könnte mir vielleicht jemand ein wenig tipps dazu geben
Tipp: Wenn ich davon ausgehe, dass auf (0, [mm] \infty) [/mm] zu untersuchen ist, so gibt eine Nullfolge [mm] (a_n) [/mm] mit:
[mm] $|f_n(x)-1/x| \le a_n$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)
[/mm]
FRED
>
> danke im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
ja genau. die grenzfunktion ist 1/x. das hab ich rausbekommen. war auch nicht so schwer :)
sorry, zu untersichen ist auf dem intervall [1, +unendlich)
grundsätzlich muss ich ja ein epsilon finden, sodass |fn(x)-f(x)| < e gilt für alle x aus dem definitionsbereich oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> ...
> ja genau. die grenzfunktion ist 1/x. das hab ich
> rausbekommen. war auch nicht so schwer :)
>
> sorry, zu untersichen ist auf dem intervall [1,
> +unendlich)
Das ist schon mal geklärt.
> grundsätzlich muss ich ja ein epsilon finden, sodass
> |fn(x)-f(x)| < e gilt für alle x aus dem
> definitionsbereich oder?
Nein. Wir machen jetzt folgendes. Du schaust Dir die Def. von $gleichmäßig konvergent" noch mal an. Dann sehen wir weiter.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
okay hab mir die definition angeschaut:
für alle e>0 existiert ein N aus den natürlichen Zahlen sodass für alle x aus dem Definitionsbereich der abstand von fn(x) zu f(x) < e ist für alle n>N.
okay gut, ist eigentlich recht logisch, nur wie mans nachweißt weiß ich einfach nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> ...
> okay hab mir die definition angeschaut:
>
> für alle e>0 existiert ein N aus den natürlichen Zahlen
> sodass für alle x aus dem Definitionsbereich der abstand
> von fn(x) zu f(x) < e ist für alle n>N.
>
> okay gut, ist eigentlich recht logisch, nur wie mans
> nachweißt weiß ich einfach nicht.
Ich verrats Dir:
Zeige:
$ [mm] |f_n(x)-1/x| \le [/mm] 1/n $ für alle x $ [mm] \in [/mm] $ [1, $ [mm] \infty) [/mm] $ und alle n.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
okay schön und gut. aber wieso muss das ganze < 1/n sein?
wie kommt man darauf?
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Hallo,
> ..
> okay schön und gut. aber wieso muss das ganze < 1/n
> sein?
Wenn es kleiner als 1/n ist, bekommst du es kleiner als jedes vorgebene [mm]\varepsilon>0[/mm]
> wie kommt man darauf?
Indem man einfach mal [mm]|f_n(x)-1/x|[/mm] hinschreibt und vereinfacht.
Du kommst - wenn ich mich auf die Schnelle nicht verhauen habe - auf [mm]\frac{1}{n+x}[/mm]; und das ist [mm]<\frac{1}{n}[/mm]
Also schreib's mal hier auf: [mm]|f_n(x)-1/x|=|...|=....[/mm]
Gruß
schachuzipus
Das ist die Abschätzung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
danke vielmals an euch beide!
nun hab ichs raus!
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