Konvergenzverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten der unendlichen Reihen
[mm] a)\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{5^k}{k} [/mm] mit dem Quotientenkriterium
[mm] b)\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{4}{5})^k [/mm] mit dem Wurzelkriterium
[mm] c)\summe_{k=1}^{\infty} {\bruch{(-1)^k}{k*2^k}} [/mm] mit dem Leibnizkritierium |
a) q:= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{5^{k+1}}{k+1}*\bruch{k}{5^k}= \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{5}{1+{\bruch{1}{k}}}=5
[/mm]
[mm] \to [/mm] Damit liegt Nichtkonvergenz vor. Die Reihe divergiert, da q>1
[mm] b)\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{(\bruch{4}{5})^k}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{4}{5}=\bruch{4}{5}
[/mm]
q<1 [mm] \to [/mm] Die Reihe ist absolut konvergent
c) [mm] {\bruch{(-1)^k}{k*2^k}}=(-1)^k{\bruch{1}{k*2^k}}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}{\bruch{1}{k*2^k}}=0
[/mm]
[mm] \to [/mm] Es handelt sich damit um eine monotone Nullfolge. Die Reihe ist daher konvergent.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
Danke Roadrunner!
> > c) [mm]{\bruch{(-1)^k}{k*2^k}}=(-1)^k{\bruch{1}{k*2^k}}[/mm]
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}{\bruch{1}{k*2^k}}=0[/mm]
> >
> > [mm]\to[/mm] Es handelt sich damit um eine monotone Nullfolge. Die
> > Reihe ist daher konvergent.
>
> Fast ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Du hast hier noch nicht die Monotonie
> nachgewiesen.
>
Monotonienachweis:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*2^k}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{24}+\bruch{1}{64}+...+\bruch{1}{n*2^n}
[/mm]
[mm] \to [/mm] damit ist die Reihe monoton fallend.
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Hallo matheist!
> Monotonienachweis:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*2^k}=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{24}+\bruch{1}{64}+...+\bruch{1}{n*2^n}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Diese Gleichheit stimmt schon einmal formal nicht, da vorne als obere Summengrenze [mm] $\infty$ [/mm] angegeben ist.
> [mm]\to[/mm] damit ist die Reihe monoton fallend.
Die Reihe selber wird bei ausschließlich positiven Summengliedern selbstverständlich nicht monoton fallend sein.
Und für die Folge [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n*2^n}$ [/mm] ist das auch kein Monotoniebeweis.
Betrachte doch mal z.B. [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ ...$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
> Betrachte doch mal z.B. [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} \ = \ ...[/mm] .
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{1}{(n+1)2^{n+1}}*n*2^n=\bruch{n}{2n+2}=\bruch{n}{n(2+\bruch{2}{n})}=\bruch{1}{2+\bruch{2}{n}}
[/mm]
Ich weiß allerdings nicht, wie ich Monotonie nachweisen kann. Bin ich überhaupt auf der richtigen Spur?
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Hallo matheist,
> > Betrachte doch mal z.B. [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} \ = \ ...[/mm] .
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{1}{(n+1)2^{n+1}}*n*2^n=\bruch{n}{2n+2}=\bruch{n}{n(2+\bruch{2}{n})}=\bruch{1}{2+\bruch{2}{n}}[/mm]
Ja, hübsch. Das ist ein positiver Wert, der immer [mm] <\tfrac{1}{2} [/mm] ist.
Also gilt [mm] 0
> Ich weiß allerdings nicht, wie ich Monotonie nachweisen
> kann. Bin ich überhaupt auf der richtigen Spur?
Du stehst mit der Nase unmittelbar vor dem Ziel. Wenn Du mal das Brett vorm Kopf wegnimmst, stößt Du direkt drauf.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mo 11.02.2013 | | Autor: | matheist |
Vielen Dank!
> Du stehst mit der Nase unmittelbar vor dem Ziel. Wenn Du
> mal das Brett vorm Kopf wegnimmst, stößt Du direkt
> drauf.
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