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Hallo!
Für fest gewähltes a > 0 sei
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{... + \sqrt{a}}}} [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 1, [mm] x_{0} [/mm] = 0
Untersuche Konvergenzverhalten und gegebenfalls den Grenzwert.
Die Vorschrift lautet also: [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \sqrt{a + x_{n}}
[/mm]
Die Folgeglieder sind monoton steigend und alle positiv.
Was mir fehlt, bzw. was ich nicht kapiere ist die Schranke.
ich weiß, dass: [mm] x_{n+1} \le \sqrt{a + x_{n}} \le \sqrt{a + 2a} [/mm] = [mm] \sqrt{3a} [/mm] = [mm] \sqrt{3}+sqrt{a} \le [/mm] 2a ist für a > 1
Warum aber schätze ich [mm] x_{n} [/mm] durch 2a ab??
für a [mm] \le [/mm] 1: [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \sqrt{a + x_{n}} \le [/mm] 2
Warum 2?
Weiters beim Berechnen des Limes quadriere ich meine Funktionsvorschrift, sodass: [mm] x^2_{n+1} [/mm] = a + [mm] x_{n}, [/mm] dann bringe ich alles auf eine Seite und berechne mit Vietà die Nullstellen.
Wieso berechne ich die Nullstellen und was mache ich dann damit?
Ich kenn mich nicht aus :(
greetz
sonnenblumale
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Do 17.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Sonne..
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{... + \sqrt{a}}}}[/mm] , n [mm]\ge[/mm]
> 1, [mm]x_{0}[/mm] = 0
>
> Untersuche Konvergenzverhalten und gegebenfalls den
> Grenzwert.
>
> Die Vorschrift lautet also: [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\sqrt{a + x_{n}}[/mm]
>
> Die Folgeglieder sind monoton steigend und alle positiv.
> Was mir fehlt, bzw. was ich nicht kapiere ist die
> Schranke.
> ich weiß, dass: [mm]x_{n+1} \le \sqrt{a + x_{n}} \le \sqrt{a + 2a}[/mm]
> = [mm]\sqrt{3a}[/mm] = [mm]\sqrt{3}+sqrt{a} \le[/mm] 2a ist für a > 1
> Warum aber schätze ich [mm]x_{n}[/mm] durch 2a ab??
Einfach weil es geht, und du das ja grade mit vollständiger Induktion gezeigt hast. a wäre keine Schranke, und da man nur eine Schranke sucht, und nicht die kleinst kommt man mit 2a hin. Du könntest aber genausogut 3a oder 100a nehmen! nur musst dus für a1 zeigen und dann irgendwie, meist durch vollst. Ind. für alle.
> für a [mm]\le[/mm] 1: [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\sqrt{a + x_{n}} \le[/mm] 2
bei a=1 ist 2a=2 und da hatte man schon oben Erfolg, aber auch hier kannst du ne andere Zahl nehmen, nur 2a klappt nicht für kleine a, aber 10 als Schranke ist auch gut!
> Warum 2?
>
> Weiters beim Berechnen des Limes quadriere ich meine
> Funktionsvorschrift, sodass: [mm]x^2_{n+1}[/mm] = a + [mm]x_{n},[/mm] dann
> bringe ich alles auf eine Seite und berechne mit Vietà die
> Nullstellen.
WENN eine Folge konvergiert, dann unterscheden sich doch die Glieder mit riesigem n fast nicht mehr. wenn man also immer weiter geht ist an beihnahe [mm] a_{n+1} [/mm] für n gegen unendlich kann man zw. an und [mm] a_{n+1} [/mm] nicht mehr unterscheiden sie sind beide der Grenzwert gund deshalb [mm] g=\Wurzel{a+g}
[/mm]
und das ist einfach ne Gleichung für g, Klar?
Gruss leduart
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