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| Aufgabe | Man untersuche das Konvergenzverhalten der Reihe [mm] \summe a_{k}, [/mm] bei der [mm] a_{k} [/mm] von einer Stelle an jeweils den folgenden Wert hat:
a) [mm] (k+1)2^{-k} [/mm] |
Hallo,
ich wollte bei der Aufgabe beginnen, indem ich das notwendige Konvergenzkriterium überprüfe.
Da (k+1) viel langsamer wächst als [mm] 2^{k}, [/mm] müsste [mm] a_{k} [/mm] eigentlich auch eine Nullfolge sein. Aber wie kann ich das beweisen?
Zum hinreichenden Kriterium habe ich das weder mit Wurzel- noch Quotientenkriterium hingekriegt.
Wollte dann das Majorantenkriterium anwenden.
Da weiß ich nicht genau, wie ich auf eine Vergleichsreihe komme. Ich habe jetzt nach einer geometrischen Reihe gesucht und bin auf [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{2}{3})^{k} [/mm] gekommen. Ich vermute das für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt das [mm] (\bruch{2}{3})^{k} \ge \bruch{k+1}{2^{k}}. [/mm] Stimmt das? Und falls ja, wie kann ich das beweisen?
Vielen Dank für eine Antwort.
Gruß
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ich bin zwar selbst nicht besonders gut darin, aber warum sollte das Quotientenkrietrium hier fehlschlagen. Alles jetzt ohne Gewähr, ok.
Wenn [mm] a_{k} [/mm] = (k+1) [mm] 2^{-k}
[/mm]
Nach Qk. gilt doch:
[mm] \bruch{(k+2) 2^{-k-1}}{(k+1)2^{-k}}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+2) 2^{-k}*2^{-1}}{(k+1)2^{-k}}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+2)*2^{-1}}{(k+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+2}{(k+1)*2}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+2}{(2k+2}
[/mm]
Und das geht gegen 1/2. Demnach kleiner 1 und deshalb Konvergenz.
Das kann jetzt aber auch total daneben sein. Lass das bitte auch noch von einem anderen korrigieren.
EDIT: Sry jetzt stimmts.
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:05 So 16.01.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
auch wenn ich mir den letzten Schritt sparen würde ( bei $ [mm] \bruch{(k+2)}{(k+1)\cdot{}2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{k+2}{k+1}$ [/mm] sieht man die Konvergenz gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] doch viel schöner), hast du es doch auch prima hinbekommen 
Und für den Threadersteller:
Auch was Wurzelkriterium liefert hier doch mit
[mm] $\sqrt[k]{(k+1)2^{-k}} [/mm] = [mm] \sqrt[k]{k+1}*\sqrt[k]{2^{-k}} [/mm] = [mm] \sqrt[k]{k+1}*2^{-1} \longrightarrow 1*2^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
sofort ein anständiges Ergebnis.
Grüße,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Super. :) Danke, dass du das nochmal kontrolliert hast.
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Hallo,
vielen Dank für eure Antworten.
Ich habe irgendwie übersehen, dass bei dem Quotientenkriterium die [mm] 2^{k} [/mm] rausfällt.
Frage zum Wurzelkriterium: Woher weiß ich das [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k+1} [/mm] = 1 ist?
Und könnt ihr mir noch sagen, wie ich beweise das [mm] a_{k} [/mm] eine Nullfolge ist, auch wenn jetzt die Konvergenz schon gezeigt wurde?
Wäre super.
Danke
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 So 16.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo,
> Frage zum Wurzelkriterium: Woher weiß ich das $ [mm] \limes_{k\rightarrow
> \infty}\wurzel[k]{k+1} [/mm] $ = 1 ist?
Hmm..das ist ein etwas längerer Beweis, den ich grad selbst nicht parat habe. Ich schau aber nochmal nach, sofern vorher kein anderer was geschrieben hat, ok ;)
> Und könnt ihr mir noch sagen, wie ich beweise das $ [mm] a_{k} [/mm] $ eine
> Nullfolge ist, auch wenn jetzt die Konvergenz schon gezeigt wurde?
Naja, darf man da überhaupt von einer Nullfolge sprechen? Die konvergiert doch nicht gegen 0? Sondern gegen 1/2. Das kannst du mit der Definition der Konvergenz auch überprüfen.
Aber 100% sicher bin ich mir da nicht (wie gesagt, bin kein "Profi" auf diesem Gebiet xD)
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Hallo,
ich meine nicht die Reihe sondern nur die Folge [mm] a_{k}.
[/mm]
Diese muss ja gegen Null konvergieren, als notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe?!
Wie kann ich [mm] \bruch{k+1}{2^{k}} [/mm] umformen? Ich nehme an, ich darf nicht einfach bei Nenner und Zähler die [mm] \wurzel[k]{} [/mm] nehmen?
Dann würde ja 1/2 rauskommen. Aber wir haben [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0 als notwendiges Konvergenzkriterium für [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] kennengelernt.
Habe auch l' Hospital versucht. Müsste ja gehen wegen [mm] \bruch{\infty}{\infty}. [/mm] Bekomme dann als Ableitung [mm] \bruch{1 - ln(2)k+ln(2)}{2^{k}} [/mm] raus. Das nützt mir dann aber auch nicht viel...
Hast du da eine Idee?
Gruß
Tobias
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Hallo Tobias,
da scheinst Du aber l'Hospital nicht ganz verstanden zu haben:
> ich meine nicht die Reihe sondern nur die Folge [mm]a_{k}.[/mm]
> Diese muss ja gegen Null konvergieren, als notwendige
> Bedingung für die Konvergenz der Reihe?!
So ist es.
> Wie kann ich [mm]\bruch{k+1}{2^{k}}[/mm] umformen? Ich nehme an, ich
> darf nicht einfach bei Nenner und Zähler die [mm]\wurzel[k]{}[/mm]
> nehmen?
Darfst Du schon: Wurzelkriterium. Aber der Zähler braucht dann vielleicht mehr Aufmerksamkeit, als Du ihm geben willst.
> Dann würde ja 1/2 rauskommen.
Das stimmt zwar, aber ist das so einfach?
> Aber wir haben
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = 0 als notwendiges
> Konvergenzkriterium für [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}[/mm]
> kennengelernt.
Ja, das ist das sogenannte Trivialkriterium.
> Habe auch l' Hospital versucht. Müsste ja gehen wegen
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}.[/mm] Bekomme dann als Ableitung [mm]\bruch{1 - ln(2)k+ln(2)}{2^{k}}[/mm]
> raus. Das nützt mir dann aber auch nicht viel...
Die Ableitung stimmt nicht. Du sollst nicht den ganzen Bruch ableiten, sondern Zähler und Nenner getrennt voneinander. Und dann ist das Ergebnis viel einfacher und vor allem eindeutig.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
vielen Dank für die Antwort.
> da scheinst Du aber l'Hospital nicht ganz verstanden zu
> haben:
Ja, habe ich ziemlich falsch verstanden gehabt.
> > Wie kann ich [mm]\bruch{k+1}{2^{k}}[/mm] umformen? Ich nehme an, ich
> > darf nicht einfach bei Nenner und Zähler die [mm]\wurzel[k]{}[/mm]
> > nehmen?
>
> Darfst Du schon: Wurzelkriterium. Aber der Zähler braucht
> dann vielleicht mehr Aufmerksamkeit, als Du ihm geben
> willst.
Hmm, also eigentlich darf ich Brüche doch nur erweitern oder kürzen oder?
Das Wurzelkriterium kenne ich nur für Reihen. Wie kann ich das jetzt für die Folge anwenden?
> Die Ableitung stimmt nicht. Du sollst nicht den ganzen
> Bruch ableiten, sondern Zähler und Nenner getrennt
> voneinander. Und dann ist das Ergebnis viel einfacher und
> vor allem eindeutig.
Ok, also [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{ln(2)2^{k}} [/mm] = 0
Gruß
Tobias
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Hallo,
das Wurzelkriterium ist in der Tat für Reihen.
>
> > Die Ableitung stimmt nicht. Du sollst nicht den ganzen
> > Bruch ableiten, sondern Zähler und Nenner getrennt
> > voneinander. Und dann ist das Ergebnis viel einfacher und
> > vor allem eindeutig.
>
... und für Deine Zwecke zu gebrauchen.
> Ok, also [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{ln(2)2^{k}}[/mm]
> = 0
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:29 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Frage zum Wurzelkriterium: Woher weiß ich das $
> [mm]\limes_{k\rightarrow
> \infty}\wurzel[k]{k+1}[/mm] $ = 1 ist?
>
> Hmm..das ist ein etwas längerer Beweis, den ich grad
> selbst nicht parat habe. Ich schau aber nochmal nach,
> sofern vorher kein anderer was geschrieben hat, ok ;)
>
> > Und könnt ihr mir noch sagen, wie ich beweise das [mm]a_{k}[/mm]
> eine
> > Nullfolge ist, auch wenn jetzt die Konvergenz schon
> gezeigt wurde?
>
> Naja, darf man da überhaupt von einer Nullfolge sprechen?
Na klar
> Die konvergiert doch nicht gegen 0?
Doch
> Sondern gegen 1/2.
Unfug !
> Das
> kannst du mit der Definition der Konvergenz auch
> überprüfen.
Unfug !
>
> Aber 100% sicher bin ich mir da nicht (wie gesagt, bin kein
> "Profi" auf diesem Gebiet xD)
Kein Unfug !
FRED
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