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| Aufgabe | Seien die Zahlen [mm]a_{k}, k \in \IN[/mm] gegeben durch die Gleichungen
[mm]a_{0} = 1, \qquad \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} = \bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^k}{2} \qquad (k \in \IN)[/mm]
Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] und bestimmen Sie die Summe der Reihen falls sie konvergiert. |
Man kann hier beobachten, dass, wenn die Reihe in Partialsummen zerlegt wird, der Wert der Partialsummen für gerade [mm]k \in \IN = \bruch{5}{4}[/mm] ist und für ungerade [mm]k \in \IN = \bruch{1}{4}[/mm] .
Es gibt also keinen eindeutigen Grenzwert und demnach kann die Folge nicht konvergieren. (Bestimmt) divergieren tut sie aufgrund des Springens zwischen den beiden Werten aber auch nicht.
Ist das hier also eine unbestimmt divergierende Folge?
Und vor allem: Ist das, was ich hier festgestellt habe, alles, was die Aufgabe von mir will?
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Hallo Apfelchips,
die Aufgabe möchte, dass Du den Grenzwert [mm] \bruch{20}{11} [/mm] bestimmst.
> Seien die Zahlen [mm]a_{k}, k \in \IN[/mm] gegeben durch die
> Gleichungen
>
> [mm]a_{0} = 1, \qquad \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} = \bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^k}{2} \qquad (k \in \IN)[/mm]
>
> Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_k[/mm] und bestimmen Sie die Summe der
> Reihen falls sie konvergiert.
>
>
> Man kann hier beobachten, dass, wenn die Reihe in
> Partialsummen zerlegt wird, der Wert der Partialsummen für
> gerade [mm]k \in \IN = \bruch{5}{4}[/mm] ist und für ungerade [mm]k \in \IN = \bruch{1}{4}[/mm]
> .
Nein, das ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder.
Es ist also [mm] a_0=1 [/mm] gegeben, dann nach Definition der Folge [mm] a_1=5/4, a_2=5/16, a_3=25/64, a_4=25/256 [/mm] etc.
Und jetzt untersuch mal die Reihe, bei der die Folgenglieder aufsummiert werden.
> Es gibt also keinen eindeutigen Grenzwert und demnach kann
> die Folge nicht konvergieren. (Bestimmt) divergieren tut
> sie aufgrund des Springens zwischen den beiden Werten aber
> auch nicht.
Doch, die Folge konvergiert und ist eine Nullfolge.
> Ist das hier also eine unbestimmt divergierende Folge?
Nein.
> Und vor allem: Ist das, was ich hier festgestellt habe,
> alles, was die Aufgabe von mir will?
Überhaupt nicht. Du sollst die Reihe untersuchen.
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
danke für Deine Antwort.
> Es ist also [mm]a_0=1[/mm] gegeben, dann nach Definition der Folge
> [mm]a_1=5/4, a_2=5/16, a_3=25/64, a_4=25/256[/mm] etc.
Wie komme ich denn auf diese Werte?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch
$ [mm] a_{0} [/mm] = 1, [mm] \qquad \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^k}{2} \qquad [/mm] (k [mm] \in \IN) [/mm] $
damit [mm] a_1=(\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^1}{2})*a_0
[/mm]
dann [mm] a_2=(\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^2}{2})*a_1
[/mm]
usw
Gruss leduart
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> [mm]a_{0} = 1, \qquad \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} = \bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^k}{2} \qquad (k \in \IN)[/mm]
>
> damit [mm]a_1=(\bruch{3}{4}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^1}{2})*a_0[/mm]
Okay, dann wäre das aber [mm]a_1=(\bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^1}{2}) * 1 = \bruch{1}{4}[/mm] statt [mm]= \bruch{5}{4}[/mm] . 
Ich weiß aber nicht so recht, was nun als nächstes zu tun ist. Welches Konvergenzkriterium für Reihen eignet sich denn hier?
Wenn ich von einer Nullfolge ausgehe, dann springt mir als erstes das Leibniz-Kriterium ins Auge. Allerdings müsste die Reihe dafür alternieren, was sie offensichtlich nicht tut.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
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> > [mm]a_{0} = 1, \qquad \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} = \bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^k}{2} \qquad (k \in \IN)[/mm]
>
> >
> > damit [mm]a_1=(\bruch{3}{4}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^1}{2})*a_0[/mm]
>
> Okay, dann wäre das aber [mm]a_1=(\bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^1}{2}) * 1 = \bruch{1}{4}[/mm]
> statt [mm]= \bruch{5}{4}[/mm] .
>
> Ich weiß aber nicht so recht, was nun als nächstes zu tun
> ist. Welches Konvergenzkriterium für Reihen eignet sich
> denn hier?
>
> Wenn ich von einer Nullfolge ausgehe, dann springt mir als
> erstes das Leibniz-Kriterium ins Auge. Allerdings müsste
> die Reihe dafür alternieren, was sie offensichtlich nicht
> tut.
Na, wenn hier Quotienten gegeben sind, wird wohl das Quotientenkriterium genutzt werden können. Nun sind die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder abwechselnd größer und kleiner Eins. Betrachte daher die Quotienten [mm] $a_k/a_{k+2}$, [/mm] die sind konstant 5/16 < 1. Und damit konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_{2k+1}\,.$ [/mm] Versuch jetzt mal, dies zu Ende zu denken.
Gruß,
Wolfgang
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Hallo nochmal,
> > [mm]a_{0} = 1, \qquad \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} = \bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^k}{2} \qquad (k \in \IN)[/mm]
>
> >
> > damit [mm]a_1=(\bruch{3}{4}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^1}{2})*a_0[/mm]
>
> Okay, dann wäre das aber [mm]a_1=(\bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^1}{2}) * 1 = \bruch{1}{4}[/mm]
> statt [mm]= \bruch{5}{4}[/mm] .
Stimmt. Darauf beruhte meine Berechnung aber auch. [mm] \tfrac{20}{11} [/mm] ist der richtige Grenzwert.
> Ich weiß aber nicht so recht, was nun als nächstes zu tun
> ist. Welches Konvergenzkriterium für Reihen eignet sich
> denn hier?
>
> Wenn ich von einer Nullfolge ausgehe, dann springt mir als
> erstes das Leibniz-Kriterium ins Auge. Allerdings müsste
> die Reihe dafür alternieren, was sie offensichtlich nicht
> tut.
Um das Leibniz-Kriterium anwenden zu können, muss nicht die Reihe alternieren, sondern die aufsummierte Folge. Mach Dir den Unterschied unbedingt klar!
Dass es mit dem Quotientenkriterium trotzdem geht, hat Wolfgang schon erwähnt.
Eine Alternative ist es, eine neue Folge zu bilden, indem man definiert: [mm] b_n=a_{2n}+a_{2n+1}
[/mm]
Es ist dann also [mm] b_0=\bruch{5}{4}.
[/mm]
Weiter muss man noch zeigen, dass [mm] \bruch{b_{n+1}}{b_{n}}=\bruch{5}{16} [/mm] ist. [mm] (b_n)_n [/mm] ist also eine ganz normale geometrische Folge mit q<1.
Den Grenzwert kann man dann ja ganz leicht berechnen, und die Konvergenz ist mit dem konstanten Quotienten auch sofort gezeigt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 So 11.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo reverend,
>
> Um das Leibniz-Kriterium anwenden zu können, muss nicht
> die Reihe alternieren, sondern die aufsummierte Folge. Mach
> Dir den Unterschied unbedingt klar!
Und die Beträge der Glieder müssen eine monotone Nullfolge bilden.
Leider spricht man aber von "alternierender Reihe" und versteht darunter eine Reihe, deren Glieder wechselndes Vorzeichen haben. Unser Jargon ist manchmal sehr verwirrend! So wie bei "offener Überdeckung". Nicht die Überdeckung ist offen, sondern ihre Elemente.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:02 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Fabibo |
> > > damit [mm]a_1=(\bruch{3}{4}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^1}{2})*a_0[/mm]
> >
> > Okay, dann wäre das aber [mm] a_1=(\bruch{3}{4} + \bruch{(-1)^1}{2}) * 1 = \bruch{1}{4}[/mm]
> > statt [mm]= \bruch{5}{4}[/mm] .
aber beim genauen betrachten müsste es
[mm] a_1=(\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^0}{2}) [/mm] * 1 = [mm] \bruch{5}{4} [/mm] ergeben,
weil nach Definition [mm] a_k_+_1 [/mm] = [mm] (\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^k}{2}) [/mm] * [mm] a_k
[/mm]
> Eine Alternative ist es, eine neue Folge zu bilden, indem
> man definiert: [mm]b_n=a_{2n}+a_{2n+1}[/mm]
>
> Es ist dann also [mm]b_0=\bruch{5}{4}.[/mm]
>
> Weiter muss man noch zeigen, dass
> [mm]\bruch{b_{n+1}}{b_{n}}=\bruch{5}{16}[/mm] ist. [mm](b_n)_n[/mm] ist also
> eine ganz normale geometrische Folge mit q<1.
> Den Grenzwert kann man dann ja ganz leicht berechnen, und
> die Konvergenz ist mit dem konstanten Quotienten auch
> sofort gezeigt.
>
> Grüße
> reverend
>
also würde [mm] b_0 [/mm] = [mm] \bruch{9}{4} [/mm] ergeben.
Das Verhältnis bleibt aber dennoch bestehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Mi 14.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Fabibo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
gut beobachtet!
Du hast Recht.
Grüße
reverend
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