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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
| Aufgabe | Für welche x Konvergieren die Reihen und wogegen?
[mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{sin(x)^n}{2+cos(x)} [/mm]
[mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{log(x)^n}{n!} [/mm] |
Bei der 2ten Reihe meine ich, dass sie nur für [mm] \bruch{1}{e} [/mm] konvergiert und dann gegen 0, wobei das hab ich mir nur überlegt, nicht ausgerechnet.
Die erste macht mir mehr Probleme. Wegen [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=sinx[/mm] würde ich sagen, dass diese Konvergiert für [mm] x \in \IR/2 \pi a [/mm] wobei [mm]a \in \IZ [/mm]. Hab aber keine Ahnung wie ich dem Konvergenzwert ausrechnen soll. Ich denke es wird auch Null sein, da es bei paar einfachen Beispielen rauskommt [mm] \pi , \bruch{3 \pi}{2} [/mm] aber wie kann ich das allgemein hierfür ausrechnen?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche x Konvergieren die Reihen und wogegen?
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> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{sin(x)^n}{2+cos(x)} [/mm]
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> [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{log(x)^n}{n!} [/mm]
Ich gehe davon aus, dass die beiden Summen als Summenindex n haben, oder?! Beginnen sie denn wirklich bei n=1 oder evtl. bei n=0?
> Bei der 2ten Reihe meine ich, dass sie nur für
> [mm]\bruch{1}{e} [/mm] konvergiert und dann gegen 0, wobei das hab
> ich mir nur überlegt, nicht ausgerechnet.
Nein, das glaube ich nicht. Diese Reihe lässt sich umschreiben in die Exponentialreihe, sprich in die Reihendarstellung der e-Funktion. Gegebenenfalls müsste im Falle des Startwerts n=1 der Summand für n=0 noch ergänzt werden, um die Exponentialreihe, die von 0 bis [mm] \infty [/mm] läuft, zu erhalten. Nach umschreiben in die Exp.-reihe lässt sich die Konvergenzfrage leicht, klären, denn die Exponentialreihe konvergiert bekanntlich gegen den entsprechenden Wert der Exponentialfunktion.
> Die erste macht mir mehr Probleme. Wegen
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=sinx[/mm] würde ich sagen, dass diese
> Konvergiert für [mm]x \in \IR/2 \pi a[/mm] wobei [mm]a \in \IZ [/mm]. Hab
> aber keine Ahnung wie ich dem Konvergenzwert ausrechnen
> soll. Ich denke es wird auch Null sein, da es bei paar
> einfachen Beispielen rauskommt [mm]\pi , \bruch{3 \pi}{2}[/mm] aber
> wie kann ich das allgemein hierfür ausrechnen?
Die Idee mit dem Konvergenzkriterium ist schon mal nicht schlecht. Allerdings hast du dich dann etwas vertan oder nicht genau das Kriterium beachtet. Der Quotient ist richtig berechnet, aber das Kriterium besagt, dass Konvergenz nur dann vorliegt, wenn der Quotient [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=sinx \le [/mm] q < 1 ist, also es reicht nicht zu zeigen, dass [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}\le1 [/mm] ist.
Somit liegt die Konvergenz für alle x vor, für die gilt [mm] sinx\le [/mm] q < 1. Das sind alle [mm] x\not=\bruch{\pi}{2}*(2a+1) [/mm] mit [mm] a\varepsilon\IZ. [/mm] Man beachte, dass das Quotientenkriterium außerdem den Betrag des Bruches betrachtet, also müssen auch die Werte ausgeschlossen werden, für die gilt sin(x)=-1.
Die x-Werte, für die sin(x)=0 gilt müssen außerdem ausgenommen werden, da das Quotientenkriterium nur für [mm] a_{n}\not=0\forall [/mm] n definiert ist. Aber dieses Sonderfall sollte leicht zu berechnen sein, schließlich sind dann alle Summanden =0.
Wie man mit elementaren Mitteln auf den Wert, gegen den die Reihe konvergiert, kommt, weiß ich allerdings momentan selber noch nicht, sorry. Aber vielleicht fällt mir (oder jemand anders) ja noch was dazu ein...
MfG,
MaTEEler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 09.02.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Also mir ist jetzt doch noch eine Möglichkeit eingefallen, den Wert der Reihe zu bestimmen, und zwar mithilfe der geometrischen Reihe.
Ich rede natürlich von der Reihe mit dem Sinus.
Aus deiner Summe kannst du einen Teil rausziehen, also praktisch ausklammern, da er unabhängig ist von n. Der Rest, der dann übrig bleibt in der Summe, bildet eine geometrische Reihe á la [mm] c*\summe_{n=0}^{\infty} a^{n}. [/mm] Falls die Summe auch bei n=1 beginnt, müsste sie entsprechend um den nullten Summanden ergänzt werden.
Der Grenzwert der geometrischen Reihe sollte bekannt sein.
MfG,
MaTEEler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mi 09.02.2011 | | Autor: | Karander |
Ja, das mit sinus stimmt, hab es wohl gedanklich mit cos vertauscht und mit der geometrischen Reihe ist es dann wirklich banal :). Was wiederum die andere Reihe anbelangt. Würde es ok sein wenn ich sage, dass für [mm]e^x[/mm] es genau die exponetzialreihe ist und deswegen kovergiert sie für [mm]e^x[/mm] gegen [mm]e^x[/mm] oder müsste ich es irgendwie länger "gestalten"?
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Hallo Karander,
> Ja, das mit sinus stimmt, hab es wohl gedanklich mit cos
> vertauscht und mit der geometrischen Reihe ist es dann
> wirklich banal :). Was wiederum die andere Reihe anbelangt.
> Würde es ok sein wenn ich sage, dass für [mm]e^x[/mm] es genau die
> exponetzialreihe ist und deswegen kovergiert sie für [mm]e^x[/mm]
> gegen [mm]e^x[/mm] oder müsste ich es irgendwie länger
> "gestalten"?
Das müsstest Du irgendwie länger gestalten.
Es ist richtig, daß die zweite Reihe, die Gestalt einer Exponentialreihe hat.
Der Exponent der Exponentialreihe stimmt mit x jedoch nicht.
Gruss
MathePower
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