Konvergiert Reihe a so auch b < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Dym |
| Aufgabe | Seien [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n, \summe_{n=1}^{\infty} b_{n} [/mm] zwei Reihen in [mm] \IR [/mm] mit [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] > 0 für alle [mm] n\in\IN [/mm] und es gebe ein [mm] n_0\in\IN, [/mm] sodass [mm] \bruch{a_{(n+1)}}{a_{(n)}} \le \bruch{b_{(n+1)}}{b_{(n)}} [/mm] für alle
[mm] n\ge n_0. [/mm] Beweisen Sie: Konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_{(n)}, [/mm] so konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{(n)}. [/mm] |
Hallo liebe MR Mitglieder!
ich habe einen Übungszettel zu rechnen und da kommt diese Aufgabe vor. Ich weiß aber nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich habe sämtliche Definitionen und Sätze aus der VL mitgeschrieben aber weiß wirklich nicht welcher Ansatz hier gefragt ist.
Ich bitte um Tipps und Ratschläge :)
Lieben Gruß
Arthur
Edit: Hatte das [mm] \le [/mm] mit [mm] \ge [/mm] vertauscht und hab im Bruch Klammern gesetzt .Danke Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Sa 15.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Arthur,
> Seien [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n, \summe_{n=1}^{\infty} b_n[/mm]
> zwei Reihen in [mm]\IR[/mm] mit [mm]a_n, b_n[/mm] > 0 für alle n [mm]\in \IN[/mm] und
> es gebe ein [mm]n_0 \in \IN,[/mm] sodass [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} \le \bruch{b_{n+1}}{b_n}[/mm]
setze Klammern um die Indizes, dann sieht's so aus wie nun hier!
> für alle n [mm]\le n_0.[/mm]
Steht da nicht viel eher "für alle $n [mm] \red{\;\ge\;}n_0$"?
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:10 So 16.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n, \summe_{n=1}^{\infty} b_{n}[/mm]
> zwei Reihen in [mm]\IR[/mm] mit [mm]a_{n}, b_{n}[/mm] > 0 für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> und es gebe ein [mm]n_0\in\IN,[/mm] sodass
> [mm]\bruch{a_{(n+1)}}{a_{(n)}} \le \bruch{b_{(n+1)}}{b_{(n)}}[/mm]
> für alle
> [mm]n\ge n_0.[/mm] Beweisen Sie: Konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} b_{(n)},[/mm]
> so konvergiert auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{(n)}.[/mm]
Tipp: fuer $m [mm] \ge n_0$ [/mm] kannst du [mm] $\sum_{n=1}^m a_n$ [/mm] durch [mm] $\sum_{n=1}^{n_0-1} a_n [/mm] + c [mm] \sum_{n=n_0}^m b_n$ [/mm] abschaetzen fuer eine passende Konstante $c$ (die von [mm] $a_{n_0}$ [/mm] und [mm] $b_{n_0}$ [/mm] abhaengt). Damit kannst du zeigen, dass [mm] $\sum_{n=1}^m a_n$ [/mm] fuer jedes $m$ beschraenkt ist, woraus die Konvergenz folgt (da die Folge der Partialsummen monoton steigt).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 16.12.2012 | | Autor: | Dym |
Ich habe versucht deinen Tipp zu befolgen aber ich bin immer noch nicht fähig selbst auf den richtigen Rechenweg zu kommen. Also bis jetzt habe ich nur die Definition von nach unten beschränkt eingesetzt:
für [mm] m\ge n_0: [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{m} a_{n} \le \summe_{n=1}^{n_{0}-1} a_{n} [/mm] + [mm] c\summe_{n=n_0}^{m} b_{n} [/mm] für ein passendes c (abh. von [mm] a_n_0,b_n_0).
[/mm]
zz. [mm] \summe_{n=1}^{m} a_{n} [/mm] ist für jedes m beschränkt:
[mm] \vmat{ \summe_{n=1}^{n_{0}-1} a_{n} + c\summe_{n=n_0}^{m} b_{n} } \ge C\in\IR
[/mm]
Aber wie zeige ich das für jedes m, denn die Beschränktheit gilt ja für eine feste Schranke [mm] C\in\IR?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 16.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe versucht deinen Tipp zu befolgen aber ich bin
> immer noch nicht fähig selbst auf den richtigen Rechenweg
> zu kommen. Also bis jetzt habe ich nur die Definition von
> nach unten beschränkt eingesetzt:
> für [mm]m\ge n_0:[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{m} a_{n} \le \summe_{n=1}^{n_{0}-1} a_{n}[/mm] + [mm]c\summe_{n=n_0}^{m} b_{n}[/mm] für ein passendes c (abh. von
> [mm]a_n_0,b_n_0).[/mm]
> zz. [mm]\summe_{n=1}^{m} a_{n}[/mm] ist für jedes m beschränkt:
> [mm]\vmat{ \summe_{n=1}^{n_{0}-1} a_{n} + c\summe_{n=n_0}^{m} b_{n} } \red{\;\ge\;} C\in\IR[/mm]
[mm] $\le$ [/mm] gehört da hin.
> Aber wie zeige ich das für jedes m, denn die
> Beschränktheit gilt ja für eine feste Schranke [mm]C\in\IR?[/mm]
Ich mach's mal so: Ohne Einschränkung sei [mm] $n_0=1\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$\frac{a_{n+1}}{a_n} \le \frac{b_{n+1}}{b_n}$$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN\,,$
[/mm]
Es gilt also
[mm] $$a_2 \le \frac{a_1}{b_1}*b_2$$
[/mm]
[mm] $$a_3 \le \frac{a_2}{b_2}*b_3 \le \frac{a_1}{b_1}*b_3$$
[/mm]
[mm] $$a_4 \le \frac{a_3}{b_3}*b_4 \le \frac{a_1}{b_1}*b_4$$
[/mm]
.
.
.
(Beweise also per Induktion: Es ist [mm] $a_n \le \frac{a_\red{1}}{b_\red{1}}*b_n$ [/mm]
für alle natürlichen $n [mm] \ge \;2=\;\red{1}\;$ [/mm] - beachte: Hier ist [mm] $n_0=\;\red{1}\;$.)
[/mm]
Daher folgt für jedes [mm] $m\in \IN$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^m a_k \le \frac{a_1}{b_1}*\sum_{k=1}^m b_k\,.$$
[/mm]
Den Rest solltest Du nun hinbekommen. (Und dann entweder begründen,
warum ich hier eigentlich o.E. [mm] $n_0=1$ [/mm] annehmen durfte, oder aber, falls
Dir das nicht gelingt (ich kann es begründen!), halt den Beweis
entsprechend für das [mm] $n_0$ [/mm] anpassen!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
