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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Do 06.11.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe | Hallo, Ist jemand gut mit konvexen Mengen??
Sei [mm] n \in \IN[/mm]. Eine Menge [mm] M \subset \IR^n[/mm] heisst konvex, falls für alle [mm] x,y \in M [/mm] und [mm] \lambda \in [0,1] [/mm] stets folgt [mm] (1-\lambda)x + \lambday \in M [/mm]. Eine Funktion [mm] f: M \rightarrow \IR [/mm] heisst konvex, falls M nicht leer und konvex ist und falls fuer alle [mm]x,y \in M [/mm] und [mm] \lambda \in [0,1][/mm] stets folgt [mm] f((1-\lambda)x + \lambda y) \le (1 - \lambda ) f(x) + \lambda f(y) [/mm]. Zeige die Aussagen :
a). Seien [mm] g: \IR^n \rightarrow \IR [/mm] eine konvexe Funktion und [mm] M:=\{x \in \IR^n |g(x) \le 0\}[/mm]. Dann ist M eine konvexe Menge.
b). Die Umkehrung der Aussage aus a) ist falsch.
c). Sei I eine beliebige Indexmenge. Ist [mm] K_i , i \in I[/mm], eine Familie von konvexen Mengen, so ist ihr Schnitt eine konvexe Menge.
d). Eine Funktion f ist genau dann konvex,wenn ihr Epigraph, [mm]epi f[/mm], konvex ist. [mm] epi \quad f := \{ (x,\alpha) \in \IR^n[/mm] x [mm] \IR | f(x) \le \alpha \}[/mm]
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Hallo, Ist jemand gut mit konvexen Mengen??
Sei [mm] n \in \IN[/mm]. Eine Menge [mm] M \subset \IR^n[/mm] heisst konvex, falls für alle [mm] x,y \in M [/mm] und [mm] \lambda \in [0,1] [/mm] stets folgt [mm] (1-\lambda)x + \lambday \in M [/mm]. Eine Funktion [mm] f: M \rightarrow \IR [/mm] heisst konvex, falls M nicht leer und konvex ist und falls fuer alle [mm]x,y \in M [/mm] und [mm] \lambda \in [0,1][/mm] stets folgt [mm] f((1-\lambda)x + \lambda y) \le (1 - \lambda ) f(x) + \lambda f(y) [/mm]. Zeige die Aussagen :
a). Seien [mm] g: \IR^n \rightarrow \IR [/mm] eine konvexe Funktion und [mm] M:=\{x \in \IR^n |g(x) \le 0\}[/mm]. Dann ist M eine konvexe Menge.
b). Die Umkehrung der Aussage aus a) ist falsch.
c). Sei I eine beliebige Indexmenge. Ist [mm] K_i , i \in I[/mm], eine Familie von konvexen Mengen, so ist ihr Schnitt eine konvexe Menge.
d). Eine Funktion f ist genau dann konvex,wenn ihr Epigraph, [mm]epi f[/mm], konvex ist. [mm] epi \quad f := \{ (x,\alpha) \in \IR^n[/mm] x [mm] \IR | f(x) \le \alpha \}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
versuch es doch mal so:
a) Nimm zwei Elemente x,y [mm] \in [/mm] M und zeige dass ihre Konvexkombination auch wieder in M ist. Welche Elemente sind in M? gerade die, mit g(...) [mm] \leq [/mm] 0, dabei kannst du dann die konvex-Eigenschaft von g ausnutzen und bedenke, dass [mm] \lambda \in [/mm] [0,1].
b) ... vielleicht findest du hier ein Gegenbeispiel?
c) Die Behauptung ist also, dass [mm] \cap_{i \in I} K_i [/mm] konvex ist, wenn die [mm] K_i [/mm] konvex sind. Nimm dir wieder zwei Elemente x,y aus dem Schnitt und zeige dass ihre Konvexkombination auch im Schnitt ist. Dazu überlege, was es bedeutet, dass die Elemente im Schnitt der Mengen [mm] K_i [/mm] sind... ??
d) Ok, hier zeigt man am besten erst die eine, dann die andere Richtung.
f konvex [mm] \gdw [/mm] epi f konvex.
[mm] \Rightarrow [/mm]
Sei also f konvex.
Nimm dir (x,a), (y,b) aus epi f. Zu zeigen ist, dass dann auch [mm] \lambda [/mm] (x,a) + (1 - [mm] \lambda) [/mm] (y,b) = [mm] (\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)y, \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda) [/mm] b) [mm] \in [/mm] epi f.
Was gilt nun für [mm] f(\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)y [/mm] ) ?
Nutze aus, dass f konvex ist, und dass wir (x,a) und (y,b) aus epi f gewählt haben, also dass gilt f(x) [mm] \leq [/mm] a und f(y) [mm] \leq [/mm] b.
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Sei nun epi f konvex.
Da f(x) [mm] \leq [/mm] f(x) sicherlich richtig ist, gehört (x.f(x)) und (y.f(y)) zum Epigraphen von f. Da epi f konvex ist, muss also auch deren Konvexkombination im Epigraphen liegen. Schreib das mal auf, und überlege was das nun für f heißt.
Viel Spaß mit den Aufgaben, die sind echt schön 
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Sa 08.11.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe | Hallo,
ich moechte zuruckfragen. Wie meinst du eigentlich mit der Konvexkombination???
Also, sind meine Loesung fuer a und b schon richtig?
a). zu zeigen : [mm] (1-\lambda) x + \lambda y \in M[/mm] [mm] \forall \lambda \in [0,1][/mm].
Da g konvex ist, dann gilt es :
[mm] g ((1-\lambda) x + \lambda y) \leq (1-\lambda)g(x) + \lambda g(y)[/mm].
Wir wissen dass wegen [mm]g(x) \leq 0[/mm] dann folgt [mm] (1-\lambda)g(x) + \lambda g(y) \leq 0 [/mm].
=> [mm] (1-\lambda)x + \lambda y\leq 0 [/mm] => M ist konvex
b). Gegen beispiel ist :
Sei [mm] g(x) = 1/2 y^2[/mm].
und es gilt [mm] (1-\lambda) g(x) + \lambda g(y) \geq g((1-\lambda)x+\lambda y)[/mm]
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Hallo,
ich moechte zuruckfragen. Wie meinst du eigentlich mit der Konvexkombination???
Also, sind meine Loesung fuer a und b schon richtig?
a). zu zeigen : [mm] (1-\lambda) x + \lambda y \in M[/mm] [mm] \forall \lambda \in [0,1][/mm].
Da g konvex ist, dann gilt es :
[mm] g ((1-\lambda) x + \lambda y) \leq (1-\lambda)g(x) + \lambda g(y)[/mm].
Wir wissen dass wegen [mm]g(x) \leq 0[/mm] dann folgt [mm] (1-\lambda)g(x) + \lambda g(y) \leq 0 [/mm].
=> [mm] (1-\lambda)x + \lambda y\leq 0 [/mm] => M ist konvex
b). Gegen beispiel ist :
Sei [mm] g(x) = 1/2 y^2[/mm].
und es gilt [mm] (1-\lambda) g(x) + \lambda g(y) \geq g((1-\lambda)x+\lambda y)[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 So 09.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hi,
> a). zu zeigen : [mm](1-\lambda) x + \lambda y \in M[/mm] [mm]\forall \lambda \in [0,1][/mm].
>
> Da g konvex ist, dann gilt es :
> [mm]g ((1-\lambda) x + \lambda y) \leq (1-\lambda)g(x) + \lambda g(y)[/mm].
>
> Wir wissen dass wegen [mm]g(x) \leq 0[/mm] dann folgt
> [mm](1-\lambda)g(x) + \lambda g(y) \leq 0 [/mm].
> => [mm](1-\lambda)x + \lambda y\leq 0[/mm]
Nein, das muss nicht kleiner gleich Null sein, das wollen wir auch gar nicht zeigen.
Aus g [mm] ((1-\lambda) [/mm] x + [mm] \lambda [/mm] y) [mm] \leq (1-\lambda)g(x) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] g(y) [mm] \leq [/mm] 0, also insbesondere g [mm] ((1-\lambda) [/mm] x + [mm] \lambda [/mm] y) [mm] \leq [/mm] 0, [mm] folgt(1-\lambda) [/mm] x + [mm] \lambda [/mm] y [mm] \in [/mm] M.
=> M ist konvex
>
> b). Gegen beispiel ist :
>
> Sei [mm]g(x) = 1/2 y^2[/mm].
>
> und es gilt [mm](1-\lambda) g(x) + \lambda g(y) \geq g((1-\lambda)x+\lambda y)[/mm]
Was möchtest du damit sagen? Was ist überhaupt erstmal die Umkehrung der Aussage a) ?
> ich moechte zuruckfragen. Wie meinst du eigentlich mit der
> Konvexkombination???
Mit der Konvexkombination zweier Punkte x,y meine ich [mm] \lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda) [/mm] y.
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 So 09.11.2008 | | Autor: | ow... |
| Aufgabe | Und zu f).
wieso schreibst du $ [mm] \lambda [/mm] $ (x,a) + (1 - $ [mm] \lambda) [/mm] $ (y,b) = $ [mm] (\lambda [/mm] $ x + $ [mm] (1-\lambda)y, \lambda [/mm] $ a + $ [mm] (1-\lambda) [/mm] $ b) $ [mm] \in [/mm] $ epi f ??
was ist $ [mm] (\lambda [/mm] $ x + $ [mm] (1-\lambda)y, \lambda [/mm] $ a ? |
Und zu f).
wieso schreibst du $ [mm] \lambda [/mm] $ (x,a) + (1 - $ [mm] \lambda) [/mm] $ (y,b) = $ [mm] (\lambda [/mm] $ x + $ [mm] (1-\lambda)y, \lambda [/mm] $ a + $ [mm] (1-\lambda) [/mm] $ b) $ [mm] \in [/mm] $ epi f ??
was ist $ [mm] (\lambda [/mm] $ x + $ [mm] (1-\lambda)y, \lambda [/mm] $ a ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 09.11.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
> Und zu f).
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> wieso schreibst du [mm]\lambda[/mm] (x,a) + (1 - [mm]\lambda)[/mm] (y,b) =
> [mm](\lambda[/mm] x + [mm](1-\lambda)y, \lambda[/mm] a + [mm](1-\lambda)[/mm] b) [mm]\in[/mm]
> epi f ??
... um dir einen Tipp zu geben!
Wir haben zwei Elemente aus epi f gewählt und wollen zeigen, dass deren Konvexkombination auch wieder in epi f liegt, also dass epi f konvex ist.
Aufgeschrieben bedeutet das wo wir hinwollen:
[mm] \lambda [/mm] (x,y) + [mm] (1-\lambda)(y,b)
[/mm]
= [mm] (\lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] a) + ( ( 1 - [mm] \lambda)y [/mm] , (1 - [mm] \lambda)b)
[/mm]
= ( [mm] \lambda [/mm] x + (1 - [mm] \lambda)y, \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda)b).
[/mm]
Siehst du nun warum das gilt?
Ok, betrachte nun [mm] f(\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)y [/mm] ) [mm] \leq [/mm] ... und bedenke was (x,a) bzw (y,b) [mm] \in [/mm] epi f bedeutet.
Viele Grüße,
Riley
PS: Weißt du eigentlich, dass du deine Fragen immer dopplelt postest?
Das Fenster oben ist eigentlich nur für die Original-Aufgabenstellung, darunter schreibt man seine Fragen...
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